Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29481 / 44603
↖ ↑ ↗
← S 54.351754°
W 18.056030°		 ← 356.01 m → S 54.351754°
W 18.050537°		 →
↑
355.95 m
↓
↑
355.95 m
↓
S 54.354956°
W 18.056030°		 ← 355.98 m →
126 716 m²		 S 54.354956°
W 18.050537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449851989746094 y=0.680595397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449851989746094 × 216)
    floor (0.449851989746094 × 65536)
    floor (29481.5)     		tx = 29481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680595397949219 × 216)
    floor (0.680595397949219 × 65536)
    floor (44603.5)     		ty = 44603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29481 / 44603 ti = "16/29481/44603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29481/44603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29481 ÷ 216
    29481 ÷ 65536     		x = 0.449844360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44603 ÷ 216
    44603 ÷ 65536     		y = 0.680587768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449844360351562 × 2 - 1) × π
    -0.100311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31513718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680587768554688 × 2 - 1) × π
    -0.361175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13466641400673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31513718} λ = -0.31513718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13466641400673))-π/2
    2×atan(0.32152936113785)-π/2
    2×0.311089629520781-π/2
    0.622179259041562-1.57079632675     		φ = -0.94861707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31513718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.056030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94861707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.351754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29481 KachelY 44603 -0.31513718 -0.94861707 -18.056030 -54.351754
    Oben rechts KachelX + 1 29482 KachelY 44603 -0.31504130 -0.94861707 -18.050537 -54.351754
    Unten links KachelX 29481 KachelY + 1 44604 -0.31513718 -0.94867294 -18.056030 -54.354956
    Unten rechts KachelX + 1 29482 KachelY + 1 44604 -0.31504130 -0.94867294 -18.050537 -54.354956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94861707--0.94867294) × R
    5.58700000000689e-05 × 6371000     		dl = 355.947770000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94861707--0.94867294) × R
    5.58700000000689e-05 × 6371000     		dr = 355.947770000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31513718--0.31504130) × cos(-0.94861707) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582807429576339 × 6371000     		do = 356.008780911675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31513718--0.31504130) × cos(-0.94867294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582762028129284 × 6371000     		du = 355.981047370548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94861707)-sin(-0.94867294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582807429576339-0.582762028129284)×R²
    abs(-0.31504130--0.31513718)×4.54014470541164e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54014470541164e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54014470541164e-05×40589641000000     		ar = 126715.595852942m²