Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29478 / 43562
↖ ↑ ↗
← S 50.882243°
W 18.072510°		 ← 385.36 m → S 50.882243°
W 18.067017°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
S 50.885709°
W 18.072510°		 ← 385.33 m →
148 504 m²		 S 50.885709°
W 18.067017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449806213378906 y=0.664710998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449806213378906 × 216)
    floor (0.449806213378906 × 65536)
    floor (29478.5)     		tx = 29478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664710998535156 × 216)
    floor (0.664710998535156 × 65536)
    floor (43562.5)     		ty = 43562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29478 / 43562 ti = "16/29478/43562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29478/43562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29478 ÷ 216
    29478 ÷ 65536     		x = 0.449798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43562 ÷ 216
    43562 ÷ 65536     		y = 0.664703369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.10040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31542480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.32940673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03486178899777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31542480} λ = -0.31542480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03486178899777))-π/2
    2×atan(0.35527548051205)-π/2
    2×0.341366826861984-π/2
    0.682733653723967-1.57079632675     		φ = -0.88806267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31542480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.072510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88806267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.882243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29478 KachelY 43562 -0.31542480 -0.88806267 -18.072510 -50.882243
    Oben rechts KachelX + 1 29479 KachelY 43562 -0.31532893 -0.88806267 -18.067017 -50.882243
    Unten links KachelX 29478 KachelY + 1 43563 -0.31542480 -0.88812316 -18.072510 -50.885709
    Unten rechts KachelX + 1 29479 KachelY + 1 43563 -0.31532893 -0.88812316 -18.067017 -50.885709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88806267--0.88812316) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dl = 385.3817899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88806267--0.88812316) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dr = 385.3817899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31542480--0.31532893) × cos(-0.88806267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		do = 385.355953136441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31542480--0.31532893) × cos(-0.88812316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630869356495553 × 6371000     		du = 385.327287415246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88806267)-sin(-0.88812316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630916288871418-0.630869356495553)×R²
    abs(-0.31532893--0.31542480)×4.69323758648388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69323758648388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69323758648388e-05×40589641000000     		ar = 148503.643428641m²