Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29477 / 44615
↖ ↑ ↗
← S 54.390154°
W 18.078003°		 ← 355.64 m → S 54.390154°
W 18.072510°		 →
↑
355.63 m
↓
↑
355.63 m
↓
S 54.393352°
W 18.078003°		 ← 355.61 m →
126 471 m²		 S 54.393352°
W 18.072510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449790954589844 y=0.680778503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449790954589844 × 216)
    floor (0.449790954589844 × 65536)
    floor (29477.5)     		tx = 29477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680778503417969 × 216)
    floor (0.680778503417969 × 65536)
    floor (44615.5)     		ty = 44615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29477 / 44615 ti = "16/29477/44615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29477/44615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29477 ÷ 216
    29477 ÷ 65536     		x = 0.449783325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44615 ÷ 216
    44615 ÷ 65536     		y = 0.680770874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449783325195312 × 2 - 1) × π
    -0.100433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31552067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680770874023438 × 2 - 1) × π
    -0.361541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13581689959761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31552067} λ = -0.31552067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13581689959761))-π/2
    2×atan(0.321159658950114)-π/2
    2×0.310754530435719-π/2
    0.621509060871438-1.57079632675     		φ = -0.94928727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31552067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.078003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94928727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.390154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29477 KachelY 44615 -0.31552067 -0.94928727 -18.078003 -54.390154
    Oben rechts KachelX + 1 29478 KachelY 44615 -0.31542480 -0.94928727 -18.072510 -54.390154
    Unten links KachelX 29477 KachelY + 1 44616 -0.31552067 -0.94934309 -18.078003 -54.393352
    Unten rechts KachelX + 1 29478 KachelY + 1 44616 -0.31542480 -0.94934309 -18.072510 -54.393352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94928727--0.94934309) × R
    5.58199999999287e-05 × 6371000     		dl = 355.629219999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94928727--0.94934309) × R
    5.58199999999287e-05 × 6371000     		dr = 355.629219999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31552067--0.31542480) × cos(-0.94928727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582262687304668 × 6371000     		do = 355.638928333018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31552067--0.31542480) × cos(-0.94934309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582217304697639 × 6371000     		du = 355.611209191674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94928727)-sin(-0.94934309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582262687304668-0.582217304697639)×R²
    abs(-0.31542480--0.31552067)×4.53826070289098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53826070289098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53826070289098e-05×40589641000000     		ar = 126470.665849224m²