Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29475 / 43811
↖ ↑ ↗
← S 51.737235°
W 18.088989°		 ← 378.24 m → S 51.737235°
W 18.083496°		 →
↑
378.25 m
↓
↑
378.25 m
↓
S 51.740636°
W 18.088989°		 ← 378.21 m →
143 063 m²		 S 51.740636°
W 18.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449760437011719 y=0.668510437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449760437011719 × 216)
    floor (0.449760437011719 × 65536)
    floor (29475.5)     		tx = 29475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668510437011719 × 216)
    floor (0.668510437011719 × 65536)
    floor (43811.5)     		ty = 43811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29475 / 43811 ti = "16/29475/43811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29475/43811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29475 ÷ 216
    29475 ÷ 65536     		x = 0.449752807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43811 ÷ 216
    43811 ÷ 65536     		y = 0.668502807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449752807617188 × 2 - 1) × π
    -0.100494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31571242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668502807617188 × 2 - 1) × π
    -0.337005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05873436500856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31571242} λ = -0.31571242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05873436500856))-π/2
    2×atan(0.346894574525689)-π/2
    2×0.333905619050696-π/2
    0.667811238101391-1.57079632675     		φ = -0.90298509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31571242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.088989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90298509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.737235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29475 KachelY 43811 -0.31571242 -0.90298509 -18.088989 -51.737235
    Oben rechts KachelX + 1 29476 KachelY 43811 -0.31561655 -0.90298509 -18.083496 -51.737235
    Unten links KachelX 29475 KachelY + 1 43812 -0.31571242 -0.90304446 -18.088989 -51.740636
    Unten rechts KachelX + 1 29476 KachelY + 1 43812 -0.31561655 -0.90304446 -18.083496 -51.740636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90298509--0.90304446) × R
    5.9370000000003e-05 × 6371000     		dl = 378.246270000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90298509--0.90304446) × R
    5.9370000000003e-05 × 6371000     		dr = 378.246270000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31571242--0.31561655) × cos(-0.90298509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619268900911396 × 6371000     		do = 378.241871018014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31571242--0.31561655) × cos(-0.90304446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619222283744068 × 6371000     		du = 378.213397822338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90298509)-sin(-0.90304446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619268900911396-0.619222283744068)×R²
    abs(-0.31561655--0.31571242)×4.66171673280114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66171673280114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66171673280114e-05×40589641000000     		ar = 143063.191972608m²