Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29474 / 44652
↖ ↑ ↗
← S 54.508327°
W 18.094482°		 ← 354.61 m → S 54.508327°
W 18.088989°		 →
↑
354.61 m
↓
↑
354.61 m
↓
S 54.511516°
W 18.094482°		 ← 354.59 m →
125 745 m²		 S 54.511516°
W 18.088989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449745178222656 y=0.681343078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449745178222656 × 216)
    floor (0.449745178222656 × 65536)
    floor (29474.5)     		tx = 29474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681343078613281 × 216)
    floor (0.681343078613281 × 65536)
    floor (44652.5)     		ty = 44652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29474 / 44652 ti = "16/29474/44652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29474/44652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29474 ÷ 216
    29474 ÷ 65536     		x = 0.449737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44652 ÷ 216
    44652 ÷ 65536     		y = 0.68133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.10052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31580829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.3626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13936423016949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31580829} λ = -0.31580829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13936423016949))-π/2
    2×atan(0.320022417751245)-π/2
    2×0.309723279815826-π/2
    0.619446559631652-1.57079632675     		φ = -0.95134977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31580829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.094482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95134977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.508327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29474 KachelY 44652 -0.31580829 -0.95134977 -18.094482 -54.508327
    Oben rechts KachelX + 1 29475 KachelY 44652 -0.31571242 -0.95134977 -18.088989 -54.508327
    Unten links KachelX 29474 KachelY + 1 44653 -0.31580829 -0.95140543 -18.094482 -54.511516
    Unten rechts KachelX + 1 29475 KachelY + 1 44653 -0.31571242 -0.95140543 -18.088989 -54.511516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95134977--0.95140543) × R
    5.56600000000129e-05 × 6371000     		dl = 354.609860000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95134977--0.95140543) × R
    5.56600000000129e-05 × 6371000     		dr = 354.609860000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31580829--0.31571242) × cos(-0.95134977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580584636073327 × 6371000     		do = 354.613995163481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31580829--0.31571242) × cos(-0.95140543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580539316807471 × 6371000     		du = 354.586314710151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95134977)-sin(-0.95140543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580584636073327-0.580539316807471)×R²
    abs(-0.31571242--0.31580829)×4.53192658558255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53192658558255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53192658558255e-05×40589641000000     		ar = 125744.711330578m²