Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29474 / 43610
↖ ↑ ↗
← S 51.048301°
W 18.094482°		 ← 383.98 m → S 51.048301°
W 18.088989°		 →
↑
383.98 m
↓
↑
383.98 m
↓
S 51.051754°
W 18.094482°		 ← 383.95 m →
147 436 m²		 S 51.051754°
W 18.088989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449745178222656 y=0.665443420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449745178222656 × 216)
    floor (0.449745178222656 × 65536)
    floor (29474.5)     		tx = 29474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665443420410156 × 216)
    floor (0.665443420410156 × 65536)
    floor (43610.5)     		ty = 43610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29474 / 43610 ti = "16/29474/43610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29474/43610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29474 ÷ 216
    29474 ÷ 65536     		x = 0.449737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43610 ÷ 216
    43610 ÷ 65536     		y = 0.665435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.10052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31580829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.33087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0394637313613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31580829} λ = -0.31580829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0394637313613))-π/2
    2×atan(0.353644279452969)-π/2
    2×0.339917697243861-π/2
    0.679835394487723-1.57079632675     		φ = -0.89096093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31580829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.094482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89096093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.048301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29474 KachelY 43610 -0.31580829 -0.89096093 -18.094482 -51.048301
    Oben rechts KachelX + 1 29475 KachelY 43610 -0.31571242 -0.89096093 -18.088989 -51.048301
    Unten links KachelX 29474 KachelY + 1 43611 -0.31580829 -0.89102120 -18.094482 -51.051754
    Unten rechts KachelX + 1 29475 KachelY + 1 43611 -0.31571242 -0.89102120 -18.088989 -51.051754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89096093--0.89102120) × R
    6.02699999999734e-05 × 6371000     		dl = 383.980169999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89096093--0.89102120) × R
    6.02699999999734e-05 × 6371000     		dr = 383.980169999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31580829--0.31571242) × cos(-0.89096093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628665024539012 × 6371000     		do = 383.98090841517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31580829--0.31571242) × cos(-0.89102120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628618152852086 × 6371000     		du = 383.952279762036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89096093)-sin(-0.89102120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628665024539012-0.628618152852086)×R²
    abs(-0.31571242--0.31580829)×4.68716869262975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68716869262975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68716869262975e-05×40589641000000     		ar = 147435.558116897m²