Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29472 / 43817
↖ ↑ ↗
← S 51.757641°
W 18.105469°		 ← 378.07 m → S 51.757641°
W 18.099976°		 →
↑
378.06 m
↓
↑
378.06 m
↓
S 51.761040°
W 18.105469°		 ← 378.04 m →
142 926 m²		 S 51.761040°
W 18.099976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449714660644531 y=0.668601989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449714660644531 × 216)
    floor (0.449714660644531 × 65536)
    floor (29472.5)     		tx = 29472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668601989746094 × 216)
    floor (0.668601989746094 × 65536)
    floor (43817.5)     		ty = 43817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29472 / 43817 ti = "16/29472/43817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29472/43817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29472 ÷ 216
    29472 ÷ 65536     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43817 ÷ 216
    43817 ÷ 65536     		y = 0.668594360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668594360351562 × 2 - 1) × π
    -0.337188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.059309607804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.059309607804))-π/2
    2×atan(0.346695083304361)-π/2
    2×0.333727544285734-π/2
    0.667455088571469-1.57079632675     		φ = -0.90334124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90334124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.757641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29472 KachelY 43817 -0.31600004 -0.90334124 -18.105469 -51.757641
    Oben rechts KachelX + 1 29473 KachelY 43817 -0.31590417 -0.90334124 -18.099976 -51.757641
    Unten links KachelX 29472 KachelY + 1 43818 -0.31600004 -0.90340058 -18.105469 -51.761040
    Unten rechts KachelX + 1 29473 KachelY + 1 43818 -0.31590417 -0.90340058 -18.099976 -51.761040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90334124--0.90340058) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dl = 378.055139999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90334124--0.90340058) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dr = 378.055139999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31590417) × cos(-0.90334124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618989220149189 × 6371000     		do = 378.071045428954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31590417) × cos(-0.90340058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618942613454188 × 6371000     		du = 378.042578629647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90334124)-sin(-0.90340058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618989220149189-0.618942613454188)×R²
    abs(-0.31590417--0.31600004)×4.66066950006727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66066950006727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66066950006727e-05×40589641000000     		ar = 142926.321041516m²