Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29471 / 44572
↖ ↑ ↗
← S 54.252389°
W 18.110962°		 ← 356.87 m → S 54.252389°
W 18.105469°		 →
↑
356.84 m
↓
↑
356.84 m
↓
S 54.255598°
W 18.110962°		 ← 356.84 m →
127 340 m²		 S 54.255598°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449699401855469 y=0.680122375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449699401855469 × 216)
    floor (0.449699401855469 × 65536)
    floor (29471.5)     		tx = 29471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680122375488281 × 216)
    floor (0.680122375488281 × 65536)
    floor (44572.5)     		ty = 44572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29471 / 44572 ti = "16/29471/44572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29471/44572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29471 ÷ 216
    29471 ÷ 65536     		x = 0.449691772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44572 ÷ 216
    44572 ÷ 65536     		y = 0.68011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449691772460938 × 2 - 1) × π
    -0.100616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31609592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31609592} λ = -0.31609592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13169432623029))-π/2
    2×atan(0.32248639611335)-π/2
    2×0.311956753203367-π/2
    0.623913506406733-1.57079632675     		φ = -0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31609592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.110962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29471 KachelY 44572 -0.31609592 -0.94688282 -18.110962 -54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 29472 KachelY 44572 -0.31600004 -0.94688282 -18.105469 -54.252389
    Unten links KachelX 29471 KachelY + 1 44573 -0.31609592 -0.94693883 -18.110962 -54.255598
    Unten rechts KachelX + 1 29472 KachelY + 1 44573 -0.31600004 -0.94693883 -18.105469 -54.255598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94688282--0.94693883) × R
    5.60099999999952e-05 × 6371000     		dl = 356.83970999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94688282--0.94693883) × R
    5.60099999999952e-05 × 6371000     		dr = 356.83970999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31609592--0.31600004) × cos(-0.94688282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 356.869099416928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31609592--0.31600004) × cos(-0.94693883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58417036331111 × 6371000     		du = 356.841331000702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94688282)-sin(-0.94693883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.58417036331111)×R²
    abs(-0.31600004--0.31609592)×4.54585396536533e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54585396536533e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54585396536533e-05×40589641000000     		ar = 127340.111540546m²