Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29470 / 44675
↖ ↑ ↗
← S 54.581613°
W 18.116455°		 ← 353.98 m → S 54.581613°
W 18.110962°		 →
↑
353.97 m
↓
↑
353.97 m
↓
S 54.584796°
W 18.116455°		 ← 353.95 m →
125 294 m²		 S 54.584796°
W 18.110962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449684143066406 y=0.681694030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449684143066406 × 216)
    floor (0.449684143066406 × 65536)
    floor (29470.5)     		tx = 29470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681694030761719 × 216)
    floor (0.681694030761719 × 65536)
    floor (44675.5)     		ty = 44675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29470 / 44675 ti = "16/29470/44675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29470/44675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29470 ÷ 216
    29470 ÷ 65536     		x = 0.449676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44675 ÷ 216
    44675 ÷ 65536     		y = 0.681686401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.10064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31619179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681686401367188 × 2 - 1) × π
    -0.363372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14156932755202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31619179} λ = -0.31619179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14156932755202))-π/2
    2×atan(0.319317514631156)-π/2
    2×0.309083731448427-π/2
    0.618167462896854-1.57079632675     		φ = -0.95262886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31619179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95262886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.581613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29470 KachelY 44675 -0.31619179 -0.95262886 -18.116455 -54.581613
    Oben rechts KachelX + 1 29471 KachelY 44675 -0.31609592 -0.95262886 -18.110962 -54.581613
    Unten links KachelX 29470 KachelY + 1 44676 -0.31619179 -0.95268442 -18.116455 -54.584796
    Unten rechts KachelX + 1 29471 KachelY + 1 44676 -0.31609592 -0.95268442 -18.110962 -54.584796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95262886--0.95268442) × R
    5.55599999999545e-05 × 6371000     		dl = 353.97275999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95262886--0.95268442) × R
    5.55599999999545e-05 × 6371000     		dr = 353.97275999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31619179--0.31609592) × cos(-0.95262886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579542726465858 × 6371000     		do = 353.977609517794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31619179--0.31609592) × cos(-0.95268442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579497447401879 × 6371000     		du = 353.949953619278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95262886)-sin(-0.95268442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579542726465858-0.579497447401879)×R²
    abs(-0.31609592--0.31619179)×4.52790639795531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52790639795531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52790639795531e-05×40589641000000     		ar = 125293.536733875m²