Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29466 / 44669
↖ ↑ ↗
← S 54.562508°
W 18.138428°		 ← 354.18 m → S 54.562508°
W 18.132934°		 →
↑
354.10 m
↓
↑
354.10 m
↓
S 54.565692°
W 18.138428°		 ← 354.15 m →
125 410 m²		 S 54.565692°
W 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449623107910156 y=0.681602478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449623107910156 × 216)
    floor (0.449623107910156 × 65536)
    floor (29466.5)     		tx = 29466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681602478027344 × 216)
    floor (0.681602478027344 × 65536)
    floor (44669.5)     		ty = 44669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29466 / 44669 ti = "16/29466/44669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29466/44669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29466 ÷ 216
    29466 ÷ 65536     		x = 0.449615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44669 ÷ 216
    44669 ÷ 65536     		y = 0.681594848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681594848632812 × 2 - 1) × π
    -0.363189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14099408475658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31657529} λ = -0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14099408475658))-π/2
    2×atan(0.319501252572802)-π/2
    2×0.309250459410549-π/2
    0.618500918821099-1.57079632675     		φ = -0.95229541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95229541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.562508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29466 KachelY 44669 -0.31657529 -0.95229541 -18.138428 -54.562508
    Oben rechts KachelX + 1 29467 KachelY 44669 -0.31647941 -0.95229541 -18.132934 -54.562508
    Unten links KachelX 29466 KachelY + 1 44670 -0.31657529 -0.95235099 -18.138428 -54.565692
    Unten rechts KachelX + 1 29467 KachelY + 1 44670 -0.31647941 -0.95235099 -18.132934 -54.565692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95229541--0.95235099) × R
    5.5580000000055e-05 × 6371000     		dl = 354.100180000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95229541--0.95235099) × R
    5.5580000000055e-05 × 6371000     		dr = 354.100180000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31657529--0.31647941) × cos(-0.95229541) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.579814436603252 × 6371000     		do = 354.180506724435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31657529--0.31647941) × cos(-0.95235099) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.579769151982642 × 6371000     		du = 354.152844546915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95229541)-sin(-0.95235099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579814436603252-0.579769151982642)×R²
    abs(-0.31647941--0.31657529)×4.5284620609598e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5284620609598e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5284620609598e-05×40589641000000     		ar = 125410.483624806m²