Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29465 / 43503
↖ ↑ ↗
← S 50.677317°
W 18.143921°		 ← 387.05 m → S 50.677317°
W 18.138428°		 →
↑
387.04 m
↓
↑
387.04 m
↓
S 50.680797°
W 18.143921°		 ← 387.02 m →
149 797 m²		 S 50.680797°
W 18.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449607849121094 y=0.663810729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449607849121094 × 216)
    floor (0.449607849121094 × 65536)
    floor (29465.5)     		tx = 29465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663810729980469 × 216)
    floor (0.663810729980469 × 65536)
    floor (43503.5)     		ty = 43503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29465 / 43503 ti = "16/29465/43503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29465/43503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29465 ÷ 216
    29465 ÷ 65536     		x = 0.449600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43503 ÷ 216
    43503 ÷ 65536     		y = 0.663803100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449600219726562 × 2 - 1) × π
    -0.100799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31667116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663803100585938 × 2 - 1) × π
    -0.327606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02920523484261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31667116} λ = -0.31667116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02920523484261))-π/2
    2×atan(0.35729081004425)-π/2
    2×0.34315515041891-π/2
    0.68631030083782-1.57079632675     		φ = -0.88448603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31667116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88448603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.677317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29465 KachelY 43503 -0.31667116 -0.88448603 -18.143921 -50.677317
    Oben rechts KachelX + 1 29466 KachelY 43503 -0.31657529 -0.88448603 -18.138428 -50.677317
    Unten links KachelX 29465 KachelY + 1 43504 -0.31667116 -0.88454678 -18.143921 -50.680797
    Unten rechts KachelX + 1 29466 KachelY + 1 43504 -0.31657529 -0.88454678 -18.138428 -50.680797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88448603--0.88454678) × R
    6.07499999999428e-05 × 6371000     		dl = 387.038249999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88448603--0.88454678) × R
    6.07499999999428e-05 × 6371000     		dr = 387.038249999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31667116--0.31657529) × cos(-0.88448603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633687186910328 × 6371000     		do = 387.048383770524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31667116--0.31657529) × cos(-0.88454678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633640190185394 × 6371000     		du = 387.019678745704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88448603)-sin(-0.88454678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633687186910328-0.633640190185394)×R²
    abs(-0.31657529--0.31667116)×4.69967249341341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69967249341341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69967249341341e-05×40589641000000     		ar = 149796.97419433m²