Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29463 / 43597
↖ ↑ ↗
← S 51.003386°
W 18.154907°		 ← 384.39 m → S 51.003386°
W 18.149414°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
S 51.006842°
W 18.154907°		 ← 384.36 m →
147 741 m²		 S 51.006842°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449577331542969 y=0.665245056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449577331542969 × 216)
    floor (0.449577331542969 × 65536)
    floor (29463.5)     		tx = 29463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665245056152344 × 216)
    floor (0.665245056152344 × 65536)
    floor (43597.5)     		ty = 43597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29463 / 43597 ti = "16/29463/43597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29463/43597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29463 ÷ 216
    29463 ÷ 65536     		x = 0.449569702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43597 ÷ 216
    43597 ÷ 65536     		y = 0.665237426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449569702148438 × 2 - 1) × π
    -0.100860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31686291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665237426757812 × 2 - 1) × π
    -0.330474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03821737197118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31686291} λ = -0.31686291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03821737197118))-π/2
    2×atan(0.354085322113164)-π/2
    2×0.34030965840716-π/2
    0.68061931681432-1.57079632675     		φ = -0.89017701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31686291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.154907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89017701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.003386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29463 KachelY 43597 -0.31686291 -0.89017701 -18.154907 -51.003386
    Oben rechts KachelX + 1 29464 KachelY 43597 -0.31676703 -0.89017701 -18.149414 -51.003386
    Unten links KachelX 29463 KachelY + 1 43598 -0.31686291 -0.89023734 -18.154907 -51.006842
    Unten rechts KachelX + 1 29464 KachelY + 1 43598 -0.31676703 -0.89023734 -18.149414 -51.006842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89017701--0.89023734) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dl = 384.362429999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89017701--0.89023734) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dr = 384.362429999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31686291--0.31676703) × cos(-0.89017701) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		do = 384.393239642086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31686291--0.31676703) × cos(-0.89023734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629227578639394 × 6371000     		du = 384.364597668661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89017701)-sin(-0.89023734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629274467243847-0.629227578639394)×R²
    abs(-0.31676703--0.31686291)×4.68886044525663e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68886044525663e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68886044525663e-05×40589641000000     		ar = 147740.815259699m²