Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29462 / 44598
↖ ↑ ↗
← S 54.335744°
W 18.160400°		 ← 356.11 m → S 54.335744°
W 18.154907°		 →
↑
356.14 m
↓
↑
356.14 m
↓
S 54.338947°
W 18.160400°		 ← 356.08 m →
126 820 m²		 S 54.338947°
W 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449562072753906 y=0.680519104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449562072753906 × 216)
    floor (0.449562072753906 × 65536)
    floor (29462.5)     		tx = 29462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680519104003906 × 216)
    floor (0.680519104003906 × 65536)
    floor (44598.5)     		ty = 44598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29462 / 44598 ti = "16/29462/44598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29462/44598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29462 ÷ 216
    29462 ÷ 65536     		x = 0.449554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44598 ÷ 216
    44598 ÷ 65536     		y = 0.680511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31695878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.36102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13418704501053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31695878} λ = -0.31695878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13418704501053))-π/2
    2×atan(0.321683529293712)-π/2
    2×0.311229346636597-π/2
    0.622458693273193-1.57079632675     		φ = -0.94833763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31695878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.160400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94833763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.335744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29462 KachelY 44598 -0.31695878 -0.94833763 -18.160400 -54.335744
    Oben rechts KachelX + 1 29463 KachelY 44598 -0.31686291 -0.94833763 -18.154907 -54.335744
    Unten links KachelX 29462 KachelY + 1 44599 -0.31695878 -0.94839353 -18.160400 -54.338947
    Unten rechts KachelX + 1 29463 KachelY + 1 44599 -0.31686291 -0.94839353 -18.154907 -54.338947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94833763--0.94839353) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dl = 356.138899999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94833763--0.94839353) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dr = 356.138899999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31695878--0.31686291) × cos(-0.94833763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58303448264092 × 6371000     		do = 356.110331485343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31695878--0.31686291) × cos(-0.94839353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582989065919856 × 6371000     		du = 356.082591507564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94833763)-sin(-0.94839353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58303448264092-0.582989065919856)×R²
    abs(-0.31686291--0.31695878)×4.54167210637291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54167210637291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54167210637291e-05×40589641000000     		ar = 126819.802124022m²