Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29461 / 44599
↖ ↑ ↗
← S 54.338947°
W 18.165893°		 ← 356.08 m → S 54.338947°
W 18.160400°		 →
↑
356.08 m
↓
↑
356.08 m
↓
S 54.342149°
W 18.165893°		 ← 356.05 m →
126 787 m²		 S 54.342149°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449546813964844 y=0.680534362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449546813964844 × 216)
    floor (0.449546813964844 × 65536)
    floor (29461.5)     		tx = 29461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680534362792969 × 216)
    floor (0.680534362792969 × 65536)
    floor (44599.5)     		ty = 44599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29461 / 44599 ti = "16/29461/44599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29461/44599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29461 ÷ 216
    29461 ÷ 65536     		x = 0.449539184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44599 ÷ 216
    44599 ÷ 65536     		y = 0.680526733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449539184570312 × 2 - 1) × π
    -0.100921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31705465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680526733398438 × 2 - 1) × π
    -0.361053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13428291880977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31705465} λ = -0.31705465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13428291880977))-π/2
    2×atan(0.321652689749981)-π/2
    2×0.311201398859753-π/2
    0.622402797719506-1.57079632675     		φ = -0.94839353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31705465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.165893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94839353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.338947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29461 KachelY 44599 -0.31705465 -0.94839353 -18.165893 -54.338947
    Oben rechts KachelX + 1 29462 KachelY 44599 -0.31695878 -0.94839353 -18.160400 -54.338947
    Unten links KachelX 29461 KachelY + 1 44600 -0.31705465 -0.94844942 -18.165893 -54.342149
    Unten rechts KachelX + 1 29462 KachelY + 1 44600 -0.31695878 -0.94844942 -18.160400 -54.342149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94839353--0.94844942) × R
    5.58899999999474e-05 × 6371000     		dl = 356.075189999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94839353--0.94844942) × R
    5.58899999999474e-05 × 6371000     		dr = 356.075189999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31705465--0.31695878) × cos(-0.94839353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582989065919856 × 6371000     		do = 356.082591507564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31705465--0.31695878) × cos(-0.94844942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582943655502188 × 6371000     		du = 356.054855379822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94839353)-sin(-0.94844942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582989065919856-0.582943655502188)×R²
    abs(-0.31695878--0.31705465)×4.54104176679238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54104176679238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54104176679238e-05×40589641000000     		ar = 126787.238386316m²