Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29454 / 44645
↖ ↑ ↗
← S 54.485996°
W 18.204346°		 ← 354.81 m → S 54.485996°
W 18.198853°		 →
↑
354.80 m
↓
↑
354.80 m
↓
S 54.489186°
W 18.204346°		 ← 354.78 m →
125 881 m²		 S 54.489186°
W 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449440002441406 y=0.681236267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449440002441406 × 216)
    floor (0.449440002441406 × 65536)
    floor (29454.5)     		tx = 29454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681236267089844 × 216)
    floor (0.681236267089844 × 65536)
    floor (44645.5)     		ty = 44645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29454 / 44645 ti = "16/29454/44645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29454/44645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29454 ÷ 216
    29454 ÷ 65536     		x = 0.449432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44645 ÷ 216
    44645 ÷ 65536     		y = 0.681228637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681228637695312 × 2 - 1) × π
    -0.362457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13869311357481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31772577} λ = -0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13869311357481))-π/2
    2×atan(0.320237262191238)-π/2
    2×0.309918153040376-π/2
    0.619836306080752-1.57079632675     		φ = -0.95096002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95096002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.485996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29454 KachelY 44645 -0.31772577 -0.95096002 -18.204346 -54.485996
    Oben rechts KachelX + 1 29455 KachelY 44645 -0.31762990 -0.95096002 -18.198853 -54.485996
    Unten links KachelX 29454 KachelY + 1 44646 -0.31772577 -0.95101571 -18.204346 -54.489186
    Unten rechts KachelX + 1 29455 KachelY + 1 44646 -0.31762990 -0.95101571 -18.198853 -54.489186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95096002--0.95101571) × R
    5.56899999999416e-05 × 6371000     		dl = 354.800989999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95096002--0.95101571) × R
    5.56899999999416e-05 × 6371000     		dr = 354.800989999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31772577--0.31762990) × cos(-0.95096002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580901926380211 × 6371000     		do = 354.807792202465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31772577--0.31762990) × cos(-0.95101571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		du = 354.780104528205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95096002)-sin(-0.95101571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580901926380211-0.580856595292032)×R²
    abs(-0.31762990--0.31772577)×4.53310881783908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53310881783908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53310881783908e-05×40589641000000     		ar = 125881.244158162m²