Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29453 / 44625
↖ ↑ ↗
← S 54.422126°
W 18.209839°		 ← 355.36 m → S 54.422126°
W 18.204346°		 →
↑
355.31 m
↓
↑
355.31 m
↓
S 54.425322°
W 18.209839°		 ← 355.33 m →
126 259 m²		 S 54.425322°
W 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449424743652344 y=0.680931091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449424743652344 × 216)
    floor (0.449424743652344 × 65536)
    floor (29453.5)     		tx = 29453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680931091308594 × 216)
    floor (0.680931091308594 × 65536)
    floor (44625.5)     		ty = 44625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29453 / 44625 ti = "16/29453/44625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29453/44625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29453 ÷ 216
    29453 ÷ 65536     		x = 0.449417114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44625 ÷ 216
    44625 ÷ 65536     		y = 0.680923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449417114257812 × 2 - 1) × π
    -0.101165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31782164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.361846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13677563759001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31782164} λ = -0.31782164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13677563759001))-π/2
    2×atan(0.320851898537826)-π/2
    2×0.310475520520597-π/2
    0.620951041041195-1.57079632675     		φ = -0.94984529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31782164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.209839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94984529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.422126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29453 KachelY 44625 -0.31782164 -0.94984529 -18.209839 -54.422126
    Oben rechts KachelX + 1 29454 KachelY 44625 -0.31772577 -0.94984529 -18.204346 -54.422126
    Unten links KachelX 29453 KachelY + 1 44626 -0.31782164 -0.94990106 -18.209839 -54.425322
    Unten rechts KachelX + 1 29454 KachelY + 1 44626 -0.31772577 -0.94990106 -18.204346 -54.425322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94984529--0.94990106) × R
    5.57700000000105e-05 × 6371000     		dl = 355.310670000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94984529--0.94990106) × R
    5.57700000000105e-05 × 6371000     		dr = 355.310670000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31782164--0.31772577) × cos(-0.94984529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581808926014782 × 6371000     		do = 355.361776486656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31782164--0.31772577) × cos(-0.94990106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581763565946712 × 6371000     		du = 355.334071111833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94984529)-sin(-0.94990106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581808926014782-0.581763565946712)×R²
    abs(-0.31772577--0.31782164)×4.53600680693222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53600680693222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53600680693222e-05×40589641000000     		ar = 126258.90892121m²