Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29453 / 44485
↖ ↑ ↗
← S 53.972243°
W 18.209839°		 ← 359.25 m → S 53.972243°
W 18.204346°		 →
↑
359.26 m
↓
↑
359.26 m
↓
S 53.975474°
W 18.209839°		 ← 359.22 m →
129 060 m²		 S 53.975474°
W 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449424743652344 y=0.678794860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449424743652344 × 216)
    floor (0.449424743652344 × 65536)
    floor (29453.5)     		tx = 29453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678794860839844 × 216)
    floor (0.678794860839844 × 65536)
    floor (44485.5)     		ty = 44485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29453 / 44485 ti = "16/29453/44485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29453/44485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29453 ÷ 216
    29453 ÷ 65536     		x = 0.449417114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44485 ÷ 216
    44485 ÷ 65536     		y = 0.678787231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449417114257812 × 2 - 1) × π
    -0.101165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31782164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678787231445312 × 2 - 1) × π
    -0.357574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1233533056964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31782164} λ = -0.31782164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1233533056964))-π/2
    2×atan(0.325187511132865)-π/2
    2×0.314401487141936-π/2
    0.628802974283873-1.57079632675     		φ = -0.94199335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31782164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.209839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94199335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.972243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29453 KachelY 44485 -0.31782164 -0.94199335 -18.209839 -53.972243
    Oben rechts KachelX + 1 29454 KachelY 44485 -0.31772577 -0.94199335 -18.204346 -53.972243
    Unten links KachelX 29453 KachelY + 1 44486 -0.31782164 -0.94204974 -18.209839 -53.975474
    Unten rechts KachelX + 1 29454 KachelY + 1 44486 -0.31772577 -0.94204974 -18.204346 -53.975474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94199335--0.94204974) × R
    5.63900000000173e-05 × 6371000     		dl = 359.26069000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94199335--0.94204974) × R
    5.63900000000173e-05 × 6371000     		dr = 359.26069000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31782164--0.31772577) × cos(-0.94199335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588177108413173 × 6371000     		do = 359.251384412722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31782164--0.31772577) × cos(-0.94204974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588131503072151 × 6371000     		du = 359.22352922818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94199335)-sin(-0.94204974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588177108413173-0.588131503072151)×R²
    abs(-0.31772577--0.31782164)×4.56053410210489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56053410210489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56053410210489e-05×40589641000000     		ar = 129059.896645485m²