Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29452 / 44819
↖ ↑ ↗
← S 55.037466°
W 18.215332°		 ← 350.04 m → S 55.037466°
W 18.209839°		 →
↑
350.02 m
↓
↑
350.02 m
↓
S 55.040614°
W 18.215332°		 ← 350.02 m →
122 518 m²		 S 55.040614°
W 18.209839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449409484863281 y=0.683891296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449409484863281 × 216)
    floor (0.449409484863281 × 65536)
    floor (29452.5)     		tx = 29452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683891296386719 × 216)
    floor (0.683891296386719 × 65536)
    floor (44819.5)     		ty = 44819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29452 / 44819 ti = "16/29452/44819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29452/44819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29452 ÷ 216
    29452 ÷ 65536     		x = 0.44940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44819 ÷ 216
    44819 ÷ 65536     		y = 0.683883666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31791752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683883666992188 × 2 - 1) × π
    -0.367767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15537515464259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31791752} λ = -0.31791752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15537515464259))-π/2
    2×atan(0.314939363773745)-π/2
    2×0.305105660950694-π/2
    0.610211321901388-1.57079632675     		φ = -0.96058500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31791752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96058500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.037466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29452 KachelY 44819 -0.31791752 -0.96058500 -18.215332 -55.037466
    Oben rechts KachelX + 1 29453 KachelY 44819 -0.31782164 -0.96058500 -18.209839 -55.037466
    Unten links KachelX 29452 KachelY + 1 44820 -0.31791752 -0.96063994 -18.215332 -55.040614
    Unten rechts KachelX + 1 29453 KachelY + 1 44820 -0.31782164 -0.96063994 -18.209839 -55.040614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96058500--0.96063994) × R
    5.49399999999478e-05 × 6371000     		dl = 350.022739999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96058500--0.96063994) × R
    5.49399999999478e-05 × 6371000     		dr = 350.022739999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31791752--0.31782164) × cos(-0.96058500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573040660895899 × 6371000     		do = 350.042735808411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31791752--0.31782164) × cos(-0.96063994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572995635221152 × 6371000     		du = 350.015231808354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96058500)-sin(-0.96063994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573040660895899-0.572995635221152)×R²
    abs(-0.31782164--0.31791752)×4.50256747465128e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50256747465128e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50256747465128e-05×40589641000000     		ar = 122518.104022767m²