Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29447 / 44473
↖ ↑ ↗
← S 53.933454°
W 18.242798°		 ← 359.62 m → S 53.933454°
W 18.237304°		 →
↑
359.58 m
↓
↑
359.58 m
↓
S 53.936688°
W 18.242798°		 ← 359.60 m →
129 308 m²		 S 53.936688°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449333190917969 y=0.678611755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449333190917969 × 216)
    floor (0.449333190917969 × 65536)
    floor (29447.5)     		tx = 29447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678611755371094 × 216)
    floor (0.678611755371094 × 65536)
    floor (44473.5)     		ty = 44473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29447 / 44473 ti = "16/29447/44473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29447/44473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29447 ÷ 216
    29447 ÷ 65536     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44473 ÷ 216
    44473 ÷ 65536     		y = 0.678604125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678604125976562 × 2 - 1) × π
    -0.357208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12220282010551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12220282010551))-π/2
    2×atan(0.325561849973189)-π/2
    2×0.314739989211599-π/2
    0.629479978423199-1.57079632675     		φ = -0.94131635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94131635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.933454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29447 KachelY 44473 -0.31839689 -0.94131635 -18.242798 -53.933454
    Oben rechts KachelX + 1 29448 KachelY 44473 -0.31830101 -0.94131635 -18.237304 -53.933454
    Unten links KachelX 29447 KachelY + 1 44474 -0.31839689 -0.94137279 -18.242798 -53.936688
    Unten rechts KachelX + 1 29448 KachelY + 1 44474 -0.31830101 -0.94137279 -18.237304 -53.936688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94131635--0.94137279) × R
    5.64399999999354e-05 × 6371000     		dl = 359.579239999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94131635--0.94137279) × R
    5.64399999999354e-05 × 6371000     		dr = 359.579239999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(-0.94131635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588724485247045 × 6371000     		do = 359.623223125368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(-0.94137279) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588678861951521 × 6371000     		du = 359.595354067775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94131635)-sin(-0.94137279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588724485247045-0.588678861951521)×R²
    abs(-0.31830101--0.31839689)×4.56232955241553e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56232955241553e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56232955241553e-05×40589641000000     		ar = 129308.034724641m²