Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29447 / 43691
↖ ↑ ↗
← S 51.327179°
W 18.242798°		 ← 381.70 m → S 51.327179°
W 18.237304°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
S 51.330612°
W 18.242798°		 ← 381.68 m →
145 686 m²		 S 51.330612°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449333190917969 y=0.666679382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449333190917969 × 216)
    floor (0.449333190917969 × 65536)
    floor (29447.5)     		tx = 29447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666679382324219 × 216)
    floor (0.666679382324219 × 65536)
    floor (43691.5)     		ty = 43691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29447 / 43691 ti = "16/29447/43691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29447/43691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29447 ÷ 216
    29447 ÷ 65536     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43691 ÷ 216
    43691 ÷ 65536     		y = 0.666671752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666671752929688 × 2 - 1) × π
    -0.333343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04722950909975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04722950909975))-π/2
    2×atan(0.350908592696397)-π/2
    2×0.337484026659903-π/2
    0.674968053319806-1.57079632675     		φ = -0.89582827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89582827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.327179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29447 KachelY 43691 -0.31839689 -0.89582827 -18.242798 -51.327179
    Oben rechts KachelX + 1 29448 KachelY 43691 -0.31830101 -0.89582827 -18.237304 -51.327179
    Unten links KachelX 29447 KachelY + 1 43692 -0.31839689 -0.89588818 -18.242798 -51.330612
    Unten rechts KachelX + 1 29448 KachelY + 1 43692 -0.31830101 -0.89588818 -18.237304 -51.330612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89582827--0.89588818) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dl = 381.68661000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89582827--0.89588818) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dr = 381.68661000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(-0.89582827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624872378126626 × 6371000     		do = 381.70421698974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(-0.89588818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62482560365596 × 6371000     		du = 381.675644735107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89582827)-sin(-0.89588818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624872378126626-0.62482560365596)×R²
    abs(-0.31830101--0.31839689)×4.67744706659223e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67744706659223e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67744706659223e-05×40589641000000     		ar = 145685.935825632m²