Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29444 / 46338
↖ ↑ ↗
← S 59.539888°
W 18.259277°		 ← 309.66 m → S 59.539888°
W 18.253784°		 →
↑
309.63 m
↓
↑
309.63 m
↓
S 59.542672°
W 18.259277°		 ← 309.64 m →
95 878 m²		 S 59.542672°
W 18.253784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449287414550781 y=0.707069396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449287414550781 × 216)
    floor (0.449287414550781 × 65536)
    floor (29444.5)     		tx = 29444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.707069396972656 × 216)
    floor (0.707069396972656 × 65536)
    floor (46338.5)     		ty = 46338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29444 / 46338 ti = "16/29444/46338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29444/46338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29444 ÷ 216
    29444 ÷ 65536     		x = 0.44927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46338 ÷ 216
    46338 ÷ 65536     		y = 0.707061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.707061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.41412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.30100745568832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31868451} λ = -0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.30100745568832))-π/2
    2×atan(0.272257367587821)-π/2
    2×0.265814623755958-π/2
    0.531629247511916-1.57079632675     		φ = -1.03916708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03916708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.539888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29444 KachelY 46338 -0.31868451 -1.03916708 -18.259277 -59.539888
    Oben rechts KachelX + 1 29445 KachelY 46338 -0.31858863 -1.03916708 -18.253784 -59.539888
    Unten links KachelX 29444 KachelY + 1 46339 -0.31868451 -1.03921568 -18.259277 -59.542672
    Unten rechts KachelX + 1 29445 KachelY + 1 46339 -0.31858863 -1.03921568 -18.253784 -59.542672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03916708--1.03921568) × R
    4.86000000001763e-05 × 6371000     		dl = 309.630600001123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03916708--1.03921568) × R
    4.86000000001763e-05 × 6371000     		dr = 309.630600001123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31868451--0.31858863) × cos(-1.03916708) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.506938395282087 × 6371000     		do = 309.664069026864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31868451--0.31858863) × cos(-1.03921568) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.506896502344263 × 6371000     		du = 309.638478663793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03916708)-sin(-1.03921568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506938395282087-0.506896502344263)×R²
    abs(-0.31858863--0.31868451)×4.1892937824084e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1892937824084e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1892937824084e-05×40589641000000     		ar = 95877.5097308369m²