Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29443 / 46339
↖ ↑ ↗
← S 59.542672°
W 18.264770°		 ← 309.61 m → S 59.542672°
W 18.259277°		 →
↑
309.63 m
↓
↑
309.63 m
↓
S 59.545457°
W 18.264770°		 ← 309.58 m →
95 860 m²		 S 59.545457°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449272155761719 y=0.707084655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449272155761719 × 216)
    floor (0.449272155761719 × 65536)
    floor (29443.5)     		tx = 29443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.707084655761719 × 216)
    floor (0.707084655761719 × 65536)
    floor (46339.5)     		ty = 46339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29443 / 46339 ti = "16/29443/46339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29443/46339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29443 ÷ 216
    29443 ÷ 65536     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46339 ÷ 216
    46339 ÷ 65536     		y = 0.707077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.707077026367188 × 2 - 1) × π
    -0.414154052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.30110332948756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.30110332948756))-π/2
    2×atan(0.272231266490845)-π/2
    2×0.26579032370508-π/2
    0.53158064741016-1.57079632675     		φ = -1.03921568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03921568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.542672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29443 KachelY 46339 -0.31878038 -1.03921568 -18.264770 -59.542672
    Oben rechts KachelX + 1 29444 KachelY 46339 -0.31868451 -1.03921568 -18.259277 -59.542672
    Unten links KachelX 29443 KachelY + 1 46340 -0.31878038 -1.03926428 -18.264770 -59.545457
    Unten rechts KachelX + 1 29444 KachelY + 1 46340 -0.31868451 -1.03926428 -18.259277 -59.545457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03921568--1.03926428) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dl = 309.630599999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03921568--1.03926428) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dr = 309.630599999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(-1.03921568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506896502344263 × 6371000     		do = 309.606184287646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(-1.03926428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50685460820917 × 6371000     		du = 309.580595862296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03921568)-sin(-1.03926428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506896502344263-0.50685460820917)×R²
    abs(-0.31868451--0.31878038)×4.18941350930346e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18941350930346e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18941350930346e-05×40589641000000     		ar = 95859.587143734m²