Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29443 / 43685
↖ ↑ ↗
← S 51.306579°
W 18.264770°		 ← 381.84 m → S 51.306579°
W 18.259277°		 →
↑
381.81 m
↓
↑
381.81 m
↓
S 51.310013°
W 18.264770°		 ← 381.81 m →
145 785 m²		 S 51.310013°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449272155761719 y=0.666587829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449272155761719 × 216)
    floor (0.449272155761719 × 65536)
    floor (29443.5)     		tx = 29443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666587829589844 × 216)
    floor (0.666587829589844 × 65536)
    floor (43685.5)     		ty = 43685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29443 / 43685 ti = "16/29443/43685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29443/43685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29443 ÷ 216
    29443 ÷ 65536     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43685 ÷ 216
    43685 ÷ 65536     		y = 0.666580200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666580200195312 × 2 - 1) × π
    -0.333160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04665426630431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04665426630431))-π/2
    2×atan(0.351110508405914)-π/2
    2×0.337663793686386-π/2
    0.675327587372772-1.57079632675     		φ = -0.89546874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89546874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.306579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29443 KachelY 43685 -0.31878038 -0.89546874 -18.264770 -51.306579
    Oben rechts KachelX + 1 29444 KachelY 43685 -0.31868451 -0.89546874 -18.259277 -51.306579
    Unten links KachelX 29443 KachelY + 1 43686 -0.31878038 -0.89552867 -18.264770 -51.310013
    Unten rechts KachelX + 1 29444 KachelY + 1 43686 -0.31868451 -0.89552867 -18.259277 -51.310013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89546874--0.89552867) × R
    5.99300000000413e-05 × 6371000     		dl = 381.814030000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89546874--0.89552867) × R
    5.99300000000413e-05 × 6371000     		dr = 381.814030000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(-0.89546874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625153032481164 × 6371000     		do = 381.8358266179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(-0.89552867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625106255861627 × 6371000     		du = 381.807256030764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89546874)-sin(-0.89552867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625153032481164-0.625106255861627)×R²
    abs(-0.31868451--0.31878038)×4.67766195375585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67766195375585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67766195375585e-05×40589641000000     		ar = 145784.821477805m²