Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29442 / 46337
↖ ↑ ↗
← S 59.537103°
W 18.270264°		 ← 309.69 m → S 59.537103°
W 18.264770°		 →
↑
309.63 m
↓
↑
309.63 m
↓
S 59.539888°
W 18.270264°		 ← 309.66 m →
95 885 m²		 S 59.539888°
W 18.264770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449256896972656 y=0.707054138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449256896972656 × 216)
    floor (0.449256896972656 × 65536)
    floor (29442.5)     		tx = 29442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.707054138183594 × 216)
    floor (0.707054138183594 × 65536)
    floor (46337.5)     		ty = 46337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29442 / 46337 ti = "16/29442/46337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29442/46337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29442 ÷ 216
    29442 ÷ 65536     		x = 0.449249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46337 ÷ 216
    46337 ÷ 65536     		y = 0.707046508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.707046508789062 × 2 - 1) × π
    -0.414093017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.30091158188908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31887626} λ = -0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.30091158188908))-π/2
    2×atan(0.272283471187328)-π/2
    2×0.265838925815112-π/2
    0.531677851630223-1.57079632675     		φ = -1.03911848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03911848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.537103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29442 KachelY 46337 -0.31887626 -1.03911848 -18.270264 -59.537103
    Oben rechts KachelX + 1 29443 KachelY 46337 -0.31878038 -1.03911848 -18.264770 -59.537103
    Unten links KachelX 29442 KachelY + 1 46338 -0.31887626 -1.03916708 -18.270264 -59.539888
    Unten rechts KachelX + 1 29443 KachelY + 1 46338 -0.31878038 -1.03916708 -18.264770 -59.539888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03911848--1.03916708) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dl = 309.630599999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03911848--1.03916708) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dr = 309.630599999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31887626--0.31878038) × cos(-1.03911848) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.506980287022543 × 6371000     		do = 309.689658658701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31887626--0.31878038) × cos(-1.03916708) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.506938395282087 × 6371000     		du = 309.664069027044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03911848)-sin(-1.03916708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506980287022543-0.506938395282087)×R²
    abs(-0.31878038--0.31887626)×4.18917404556574e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.18917404556574e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.18917404556574e-05×40589641000000     		ar = 95885.4331764434m²