Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29438 / 43650
↖ ↑ ↗
← S 51.186230°
W 18.292236°		 ← 382.84 m → S 51.186230°
W 18.286743°		 →
↑
382.83 m
↓
↑
382.83 m
↓
S 51.189673°
W 18.292236°		 ← 382.81 m →
146 557 m²		 S 51.189673°
W 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449195861816406 y=0.666053771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449195861816406 × 216)
    floor (0.449195861816406 × 65536)
    floor (29438.5)     		tx = 29438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666053771972656 × 216)
    floor (0.666053771972656 × 65536)
    floor (43650.5)     		ty = 43650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29438 / 43650 ti = "16/29438/43650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29438/43650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29438 ÷ 216
    29438 ÷ 65536     		x = 0.449188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43650 ÷ 216
    43650 ÷ 65536     		y = 0.666046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.10162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31925975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.33209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0432986833309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31925975} λ = -0.31925975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0432986833309))-π/2
    2×atan(0.352290667803718)-π/2
    2×0.338714044075635-π/2
    0.67742808815127-1.57079632675     		φ = -0.89336824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31925975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.292236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89336824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.186230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29438 KachelY 43650 -0.31925975 -0.89336824 -18.292236 -51.186230
    Oben rechts KachelX + 1 29439 KachelY 43650 -0.31916388 -0.89336824 -18.286743 -51.186230
    Unten links KachelX 29438 KachelY + 1 43651 -0.31925975 -0.89342833 -18.292236 -51.189673
    Unten rechts KachelX + 1 29439 KachelY + 1 43651 -0.31916388 -0.89342833 -18.286743 -51.189673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89336824--0.89342833) × R
    6.00899999999571e-05 × 6371000     		dl = 382.833389999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89336824--0.89342833) × R
    6.00899999999571e-05 × 6371000     		dr = 382.833389999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31925975--0.31916388) × cos(-0.89336824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626791097030668 × 6371000     		do = 382.836336411207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31925975--0.31916388) × cos(-0.89342833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626744274531444 × 6371000     		du = 382.80773780132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89336824)-sin(-0.89342833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626791097030668-0.626744274531444)×R²
    abs(-0.31916388--0.31925975)×4.68224992240529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68224992240529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68224992240529e-05×40589641000000     		ar = 146557.058276303m²