Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29434 / 44488
↖ ↑ ↗
← S 53.981935°
W 18.314209°		 ← 359.21 m → S 53.981935°
W 18.308716°		 →
↑
359.13 m
↓
↑
359.13 m
↓
S 53.985165°
W 18.314209°		 ← 359.18 m →
128 998 m²		 S 53.985165°
W 18.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449134826660156 y=0.678840637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449134826660156 × 216)
    floor (0.449134826660156 × 65536)
    floor (29434.5)     		tx = 29434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678840637207031 × 216)
    floor (0.678840637207031 × 65536)
    floor (44488.5)     		ty = 44488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29434 / 44488 ti = "16/29434/44488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29434/44488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29434 ÷ 216
    29434 ÷ 65536     		x = 0.449127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44488 ÷ 216
    44488 ÷ 65536     		y = 0.6788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12364092709412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31964325} λ = -0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12364092709412))-π/2
    2×atan(0.325093993695845)-π/2
    2×0.314316910818592-π/2
    0.628633821637184-1.57079632675     		φ = -0.94216251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94216251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.981935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29434 KachelY 44488 -0.31964325 -0.94216251 -18.314209 -53.981935
    Oben rechts KachelX + 1 29435 KachelY 44488 -0.31954737 -0.94216251 -18.308716 -53.981935
    Unten links KachelX 29434 KachelY + 1 44489 -0.31964325 -0.94221888 -18.314209 -53.985165
    Unten rechts KachelX + 1 29435 KachelY + 1 44489 -0.31954737 -0.94221888 -18.308716 -53.985165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94216251--0.94221888) × R
    5.63700000000278e-05 × 6371000     		dl = 359.133270000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94216251--0.94221888) × R
    5.63700000000278e-05 × 6371000     		dr = 359.133270000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31964325--0.31954737) × cos(-0.94216251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588040294868092 × 6371000     		do = 359.205284419783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31964325--0.31954737) × cos(-0.94221888) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.587994700094655 × 6371000     		du = 359.177432784949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94216251)-sin(-0.94221888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588040294868092-0.587994700094655)×R²
    abs(-0.31954737--0.31964325)×4.55947734370188e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55947734370188e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55947734370188e-05×40589641000000     		ar = 128997.567204717m²