Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29431 / 44551
↖ ↑ ↗
← S 54.184941°
W 18.330689°		 ← 357.45 m → S 54.184941°
W 18.325195°		 →
↑
357.41 m
↓
↑
357.41 m
↓
S 54.188156°
W 18.330689°		 ← 357.42 m →
127 753 m²		 S 54.188156°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449089050292969 y=0.679801940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449089050292969 × 216)
    floor (0.449089050292969 × 65536)
    floor (29431.5)     		tx = 29431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679801940917969 × 216)
    floor (0.679801940917969 × 65536)
    floor (44551.5)     		ty = 44551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29431 / 44551 ti = "16/29431/44551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29431/44551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29431 ÷ 216
    29431 ÷ 65536     		x = 0.449081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44551 ÷ 216
    44551 ÷ 65536     		y = 0.679794311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449081420898438 × 2 - 1) × π
    -0.101837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31993087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679794311523438 × 2 - 1) × π
    -0.359588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12968097644624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31993087} λ = -0.31993087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12968097644624))-π/2
    2×atan(0.323136328079967)-π/2
    2×0.312545349227864-π/2
    0.625090698455728-1.57079632675     		φ = -0.94570563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31993087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.330689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94570563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.184941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29431 KachelY 44551 -0.31993087 -0.94570563 -18.330689 -54.184941
    Oben rechts KachelX + 1 29432 KachelY 44551 -0.31983499 -0.94570563 -18.325195 -54.184941
    Unten links KachelX 29431 KachelY + 1 44552 -0.31993087 -0.94576173 -18.330689 -54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 29432 KachelY + 1 44552 -0.31983499 -0.94576173 -18.325195 -54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94570563--0.94576173) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dl = 357.413100000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94570563--0.94576173) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dr = 357.413100000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31993087--0.31983499) × cos(-0.94570563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		do = 357.452462848393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31993087--0.31983499) × cos(-0.94576173) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 357.424673397533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94570563)-sin(-0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585170822289601-0.585125329315008)×R²
    abs(-0.31983499--0.31993087)×4.54929745933308e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54929745933308e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54929745933308e-05×40589641000000     		ar = 127753.226725707m²