Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29426 / 43557
↖ ↑ ↗
← S 50.864912°
W 18.358154°		 ← 385.54 m → S 50.864912°
W 18.352661°		 →
↑
385.45 m
↓
↑
385.45 m
↓
S 50.868378°
W 18.358154°		 ← 385.51 m →
148 599 m²		 S 50.868378°
W 18.352661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449012756347656 y=0.664634704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449012756347656 × 216)
    floor (0.449012756347656 × 65536)
    floor (29426.5)     		tx = 29426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664634704589844 × 216)
    floor (0.664634704589844 × 65536)
    floor (43557.5)     		ty = 43557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29426 / 43557 ti = "16/29426/43557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29426/43557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29426 ÷ 216
    29426 ÷ 65536     		x = 0.449005126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43557 ÷ 216
    43557 ÷ 65536     		y = 0.664627075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.10198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32041024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664627075195312 × 2 - 1) × π
    -0.329254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03438242000157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32041024} λ = -0.32041024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03438242000157))-π/2
    2×atan(0.355445829389241)-π/2
    2×0.341518075837579-π/2
    0.683036151675158-1.57079632675     		φ = -0.88776018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32041024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.358154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88776018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.864912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29426 KachelY 43557 -0.32041024 -0.88776018 -18.358154 -50.864912
    Oben rechts KachelX + 1 29427 KachelY 43557 -0.32031436 -0.88776018 -18.352661 -50.864912
    Unten links KachelX 29426 KachelY + 1 43558 -0.32041024 -0.88782068 -18.358154 -50.868378
    Unten rechts KachelX + 1 29427 KachelY + 1 43558 -0.32031436 -0.88782068 -18.352661 -50.868378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88776018--0.88782068) × R
    6.05000000000189e-05 × 6371000     		dl = 385.44550000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88776018--0.88782068) × R
    6.05000000000189e-05 × 6371000     		dr = 385.44550000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32041024--0.32031436) × cos(-0.88776018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63115094714549 × 6371000     		do = 385.539490167195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32041024--0.32031436) × cos(-0.88782068) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631104018558628 × 6371000     		du = 385.510823770455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88776018)-sin(-0.88782068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63115094714549-0.631104018558628)×R²
    abs(-0.32031436--0.32041024)×4.69285868628377e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69285868628377e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69285868628377e-05×40589641000000     		ar = 148598.936935754m²