Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29423 / 43556
↖ ↑ ↗
← S 50.861444°
W 18.374634°		 ← 385.57 m → S 50.861444°
W 18.369140°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
S 50.864912°
W 18.374634°		 ← 385.54 m →
148 659 m²		 S 50.864912°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448966979980469 y=0.664619445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448966979980469 × 216)
    floor (0.448966979980469 × 65536)
    floor (29423.5)     		tx = 29423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664619445800781 × 216)
    floor (0.664619445800781 × 65536)
    floor (43556.5)     		ty = 43556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29423 / 43556 ti = "16/29423/43556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29423/43556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29423 ÷ 216
    29423 ÷ 65536     		x = 0.448959350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43556 ÷ 216
    43556 ÷ 65536     		y = 0.66461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448959350585938 × 2 - 1) × π
    -0.102081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32069786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.3292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03428654620233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32069786} λ = -0.32069786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03428654620233))-π/2
    2×atan(0.355479908964972)-π/2
    2×0.341548332382347-π/2
    0.683096664764695-1.57079632675     		φ = -0.88769966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32069786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.374634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88769966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.861444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29423 KachelY 43556 -0.32069786 -0.88769966 -18.374634 -50.861444
    Oben rechts KachelX + 1 29424 KachelY 43556 -0.32060198 -0.88769966 -18.369140 -50.861444
    Unten links KachelX 29423 KachelY + 1 43557 -0.32069786 -0.88776018 -18.374634 -50.864912
    Unten rechts KachelX + 1 29424 KachelY + 1 43557 -0.32060198 -0.88776018 -18.369140 -50.864912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88769966--0.88776018) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dl = 385.572920000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88769966--0.88776018) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dr = 385.572920000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32069786--0.32060198) × cos(-0.88769966) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63119788893462 × 6371000     		do = 385.568164628558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32069786--0.32060198) × cos(-0.88776018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63115094714549 × 6371000     		du = 385.539490167195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88769966)-sin(-0.88776018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63119788893462-0.63115094714549)×R²
    abs(-0.32060198--0.32069786)×4.694178912934e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.694178912934e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.694178912934e-05×40589641000000     		ar = 148659.115092444m²