Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29421 / 44884
↖ ↑ ↗
← S 55.241552°
W 18.385620°		 ← 348.26 m → S 55.241552°
W 18.380127°		 →
↑
348.18 m
↓
↑
348.18 m
↓
S 55.244683°
W 18.385620°		 ← 348.23 m →
121 250 m²		 S 55.244683°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448936462402344 y=0.684883117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448936462402344 × 216)
    floor (0.448936462402344 × 65536)
    floor (29421.5)     		tx = 29421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684883117675781 × 216)
    floor (0.684883117675781 × 65536)
    floor (44884.5)     		ty = 44884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29421 / 44884 ti = "16/29421/44884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29421/44884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29421 ÷ 216
    29421 ÷ 65536     		x = 0.448928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44884 ÷ 216
    44884 ÷ 65536     		y = 0.68487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448928833007812 × 2 - 1) × π
    -0.102142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32088961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68487548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3697509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1616069515932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32088961} λ = -0.32088961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1616069515932))-π/2
    2×atan(0.31298282830472)-π/2
    2×0.303324679939957-π/2
    0.606649359879913-1.57079632675     		φ = -0.96414697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32088961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.385620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96414697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.241552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29421 KachelY 44884 -0.32088961 -0.96414697 -18.385620 -55.241552
    Oben rechts KachelX + 1 29422 KachelY 44884 -0.32079373 -0.96414697 -18.380127 -55.241552
    Unten links KachelX 29421 KachelY + 1 44885 -0.32088961 -0.96420162 -18.385620 -55.244683
    Unten rechts KachelX + 1 29422 KachelY + 1 44885 -0.32079373 -0.96420162 -18.380127 -55.244683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96414697--0.96420162) × R
    5.46499999999339e-05 × 6371000     		dl = 348.175149999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96414697--0.96420162) × R
    5.46499999999339e-05 × 6371000     		dr = 348.175149999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(-0.96414697) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570117901443672 × 6371000     		do = 348.257363871334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(-0.96420162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570073002180517 × 6371000     		du = 348.229937089986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96414697)-sin(-0.96420162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570117901443672-0.570073002180517)×R²
    abs(-0.32079373--0.32088961)×4.48992631540968e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48992631540968e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48992631540968e-05×40589641000000     		ar = 121249.785272862m²