Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29421 / 44417
↖ ↑ ↗
← S 53.751959°
W 18.385620°		 ← 361.19 m → S 53.751959°
W 18.380127°		 →
↑
361.17 m
↓
↑
361.17 m
↓
S 53.755207°
W 18.385620°		 ← 361.16 m →
130 445 m²		 S 53.755207°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448936462402344 y=0.677757263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448936462402344 × 216)
    floor (0.448936462402344 × 65536)
    floor (29421.5)     		tx = 29421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677757263183594 × 216)
    floor (0.677757263183594 × 65536)
    floor (44417.5)     		ty = 44417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29421 / 44417 ti = "16/29421/44417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29421/44417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29421 ÷ 216
    29421 ÷ 65536     		x = 0.448928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44417 ÷ 216
    44417 ÷ 65536     		y = 0.677749633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448928833007812 × 2 - 1) × π
    -0.102142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32088961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677749633789062 × 2 - 1) × π
    -0.355499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11683388734807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32088961} λ = -0.32088961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11683388734807))-π/2
    2×atan(0.32731447029441)-π/2
    2×0.316323832027528-π/2
    0.632647664055056-1.57079632675     		φ = -0.93814866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32088961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.385620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93814866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.751959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29421 KachelY 44417 -0.32088961 -0.93814866 -18.385620 -53.751959
    Oben rechts KachelX + 1 29422 KachelY 44417 -0.32079373 -0.93814866 -18.380127 -53.751959
    Unten links KachelX 29421 KachelY + 1 44418 -0.32088961 -0.93820535 -18.385620 -53.755207
    Unten rechts KachelX + 1 29422 KachelY + 1 44418 -0.32079373 -0.93820535 -18.380127 -53.755207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93814866--0.93820535) × R
    5.66900000000814e-05 × 6371000     		dl = 361.171990000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93814866--0.93820535) × R
    5.66900000000814e-05 × 6371000     		dr = 361.171990000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(-0.93814866) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591282078053574 × 6371000     		do = 361.185532476473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(-0.93820535) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591236358612895 × 6371000     		du = 361.15760468847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93814866)-sin(-0.93820535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591282078053574-0.591236358612895)×R²
    abs(-0.32079373--0.32088961)×4.57194406788819e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.57194406788819e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.57194406788819e-05×40589641000000     		ar = 130445.054191577m²