Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29419 / 44871
↖ ↑ ↗
← S 55.200818°
W 18.396606°		 ← 348.58 m → S 55.200818°
W 18.391113°		 →
↑
348.56 m
↓
↑
348.56 m
↓
S 55.203953°
W 18.396606°		 ← 348.55 m →
121 495 m²		 S 55.203953°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448905944824219 y=0.684684753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448905944824219 × 216)
    floor (0.448905944824219 × 65536)
    floor (29419.5)     		tx = 29419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684684753417969 × 216)
    floor (0.684684753417969 × 65536)
    floor (44871.5)     		ty = 44871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29419 / 44871 ti = "16/29419/44871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29419/44871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29419 ÷ 216
    29419 ÷ 65536     		x = 0.448898315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44871 ÷ 216
    44871 ÷ 65536     		y = 0.684677124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448898315429688 × 2 - 1) × π
    -0.102203369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32108135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684677124023438 × 2 - 1) × π
    -0.369354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16036059220308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32108135} λ = -0.32108135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16036059220308))-π/2
    2×atan(0.313373160588349)-π/2
    2×0.303680147773413-π/2
    0.607360295546826-1.57079632675     		φ = -0.96343603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32108135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.396606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96343603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.200818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29419 KachelY 44871 -0.32108135 -0.96343603 -18.396606 -55.200818
    Oben rechts KachelX + 1 29420 KachelY 44871 -0.32098548 -0.96343603 -18.391113 -55.200818
    Unten links KachelX 29419 KachelY + 1 44872 -0.32108135 -0.96349074 -18.396606 -55.203953
    Unten rechts KachelX + 1 29420 KachelY + 1 44872 -0.32098548 -0.96349074 -18.391113 -55.203953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96343603--0.96349074) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dl = 348.557410000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96343603--0.96349074) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dr = 348.557410000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32108135--0.32098548) × cos(-0.96343603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570701839234894 × 6371000     		do = 348.577703721172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32108135--0.32098548) × cos(-0.96349074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570656912861616 × 6371000     		du = 348.550263241823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96343603)-sin(-0.96349074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570701839234894-0.570656912861616)×R²
    abs(-0.32098548--0.32108135)×4.49263732780203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49263732780203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49263732780203e-05×40589641000000     		ar = 121494.559331663m²