Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29418 / 43708
↖ ↑ ↗
← S 51.385495°
W 18.402100°		 ← 381.22 m → S 51.385495°
W 18.396606°		 →
↑
381.18 m
↓
↑
381.18 m
↓
S 51.388923°
W 18.402100°		 ← 381.19 m →
145 306 m²		 S 51.388923°
W 18.396606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448890686035156 y=0.666938781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448890686035156 × 216)
    floor (0.448890686035156 × 65536)
    floor (29418.5)     		tx = 29418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666938781738281 × 216)
    floor (0.666938781738281 × 65536)
    floor (43708.5)     		ty = 43708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29418 / 43708 ti = "16/29418/43708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29418/43708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29418 ÷ 216
    29418 ÷ 65536     		x = 0.448883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43708 ÷ 216
    43708 ÷ 65536     		y = 0.66693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.10223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32117723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.3338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04885936368683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32117723} λ = -0.32117723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04885936368683))-π/2
    2×atan(0.350337128545183)-π/2
    2×0.336975125044175-π/2
    0.673950250088349-1.57079632675     		φ = -0.89684608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32117723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.402100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89684608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.385495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29418 KachelY 43708 -0.32117723 -0.89684608 -18.402100 -51.385495
    Oben rechts KachelX + 1 29419 KachelY 43708 -0.32108135 -0.89684608 -18.396606 -51.385495
    Unten links KachelX 29418 KachelY + 1 43709 -0.32117723 -0.89690591 -18.402100 -51.388923
    Unten rechts KachelX + 1 29419 KachelY + 1 43709 -0.32108135 -0.89690591 -18.396606 -51.388923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89684608--0.89690591) × R
    5.9829999999983e-05 × 6371000     		dl = 381.176929999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89684608--0.89690591) × R
    5.9829999999983e-05 × 6371000     		dr = 381.176929999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32117723--0.32108135) × cos(-0.89684608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624077422941323 × 6371000     		do = 381.218617438264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32117723--0.32108135) × cos(-0.89690591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624030672905466 × 6371000     		du = 381.19006010967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89684608)-sin(-0.89690591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624077422941323-0.624030672905466)×R²
    abs(-0.32108135--0.32117723)×4.67500358570794e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67500358570794e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67500358570794e-05×40589641000000     		ar = 145306.299599744m²