Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29416 / 44648
↖ ↑ ↗
← S 54.495567°
W 18.413086°		 ← 354.76 m → S 54.495567°
W 18.407593°		 →
↑
354.74 m
↓
↑
354.74 m
↓
S 54.498758°
W 18.413086°		 ← 354.73 m →
125 842 m²		 S 54.498758°
W 18.407593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448860168457031 y=0.681282043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448860168457031 × 216)
    floor (0.448860168457031 × 65536)
    floor (29416.5)     		tx = 29416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681282043457031 × 216)
    floor (0.681282043457031 × 65536)
    floor (44648.5)     		ty = 44648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29416 / 44648 ti = "16/29416/44648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29416/44648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29416 ÷ 216
    29416 ÷ 65536     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44648 ÷ 216
    44648 ÷ 65536     		y = 0.6812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13898073497253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13898073497253))-π/2
    2×atan(0.320145168347)-π/2
    2×0.309834622907107-π/2
    0.619669245814214-1.57079632675     		φ = -0.95112708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95112708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.495567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29416 KachelY 44648 -0.32136898 -0.95112708 -18.413086 -54.495567
    Oben rechts KachelX + 1 29417 KachelY 44648 -0.32127310 -0.95112708 -18.407593 -54.495567
    Unten links KachelX 29416 KachelY + 1 44649 -0.32136898 -0.95118276 -18.413086 -54.498758
    Unten rechts KachelX + 1 29417 KachelY + 1 44649 -0.32127310 -0.95118276 -18.407593 -54.498758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95112708--0.95118276) × R
    5.56800000000024e-05 × 6371000     		dl = 354.737280000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95112708--0.95118276) × R
    5.56800000000024e-05 × 6371000     		dr = 354.737280000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32127310) × cos(-0.95112708) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.580765935852158 × 6371000     		do = 354.761731449054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32127310) × cos(-0.95118276) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.58072060750139 × 6371000     		du = 354.734042558901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95112708)-sin(-0.95118276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580765935852158-0.58072060750139)×R²
    abs(-0.32127310--0.32136898)×4.53283507682034e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.53283507682034e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.53283507682034e-05×40589641000000     		ar = 125842.300554042m²