Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29415 / 44878
↖ ↑ ↗
← S 55.222757°
W 18.418579°		 ← 348.39 m → S 55.222757°
W 18.413086°		 →
↑
348.43 m
↓
↑
348.43 m
↓
S 55.225890°
W 18.418579°		 ← 348.36 m →
121 383 m²		 S 55.225890°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448844909667969 y=0.684791564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448844909667969 × 216)
    floor (0.448844909667969 × 65536)
    floor (29415.5)     		tx = 29415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684791564941406 × 216)
    floor (0.684791564941406 × 65536)
    floor (44878.5)     		ty = 44878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29415 / 44878 ti = "16/29415/44878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29415/44878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29415 ÷ 216
    29415 ÷ 65536     		x = 0.448837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44878 ÷ 216
    44878 ÷ 65536     		y = 0.684783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448837280273438 × 2 - 1) × π
    -0.102325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32146485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.36956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16103170879776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32146485} λ = -0.32146485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16103170879776))-π/2
    2×atan(0.313162921215408)-π/2
    2×0.303488696799401-π/2
    0.606977393598803-1.57079632675     		φ = -0.96381893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32146485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.418579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96381893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.222757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29415 KachelY 44878 -0.32146485 -0.96381893 -18.418579 -55.222757
    Oben rechts KachelX + 1 29416 KachelY 44878 -0.32136898 -0.96381893 -18.413086 -55.222757
    Unten links KachelX 29415 KachelY + 1 44879 -0.32146485 -0.96387362 -18.418579 -55.225890
    Unten rechts KachelX + 1 29416 KachelY + 1 44879 -0.32136898 -0.96387362 -18.413086 -55.225890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96381893--0.96387362) × R
    5.46900000000239e-05 × 6371000     		dl = 348.429990000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96381893--0.96387362) × R
    5.46900000000239e-05 × 6371000     		dr = 348.429990000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32146485--0.32136898) × cos(-0.96381893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570387376253258 × 6371000     		do = 348.385633577871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32146485--0.32136898) × cos(-0.96387362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570342454356561 × 6371000     		du = 348.358195832763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96381893)-sin(-0.96387362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570387376253258-0.570342454356561)×R²
    abs(-0.32136898--0.32146485)×4.49218966974696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49218966974696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49218966974696e-05×40589641000000     		ar = 121383.222787666m²