Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29413 / 44646
↖ ↑ ↗
← S 54.489186°
W 18.429566°		 ← 354.82 m → S 54.489186°
W 18.424072°		 →
↑
354.80 m
↓
↑
354.80 m
↓
S 54.492377°
W 18.429566°		 ← 354.79 m →
125 885 m²		 S 54.492377°
W 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448814392089844 y=0.681251525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448814392089844 × 216)
    floor (0.448814392089844 × 65536)
    floor (29413.5)     		tx = 29413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681251525878906 × 216)
    floor (0.681251525878906 × 65536)
    floor (44646.5)     		ty = 44646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29413 / 44646 ti = "16/29413/44646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29413/44646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29413 ÷ 216
    29413 ÷ 65536     		x = 0.448806762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44646 ÷ 216
    44646 ÷ 65536     		y = 0.681243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448806762695312 × 2 - 1) × π
    -0.102386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32165660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.36248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13878898737405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32165660} λ = -0.32165660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13878898737405))-π/2
    2×atan(0.320206561299983)-π/2
    2×0.309890307489614-π/2
    0.619780614979228-1.57079632675     		φ = -0.95101571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32165660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.429566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95101571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.489186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29413 KachelY 44646 -0.32165660 -0.95101571 -18.429566 -54.489186
    Oben rechts KachelX + 1 29414 KachelY 44646 -0.32156072 -0.95101571 -18.424072 -54.489186
    Unten links KachelX 29413 KachelY + 1 44647 -0.32165660 -0.95107140 -18.429566 -54.492377
    Unten rechts KachelX + 1 29414 KachelY + 1 44647 -0.32156072 -0.95107140 -18.424072 -54.492377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95101571--0.95107140) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dl = 354.800990000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95101571--0.95107140) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dr = 354.800990000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32165660--0.32156072) × cos(-0.95101571) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		do = 354.817110901872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32165660--0.32156072) × cos(-0.95107140) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.580811262402399 × 6371000     		du = 354.789419239147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95101571)-sin(-0.95107140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580856595292032-0.580811262402399)×R²
    abs(-0.32156072--0.32165660)×4.5332889633154e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5332889633154e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5332889633154e-05×40589641000000     		ar = 125884.549735229m²