Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29412 / 44653
↖ ↑ ↗
← S 54.511516°
W 18.435059°		 ← 354.59 m → S 54.511516°
W 18.429566°		 →
↑
354.55 m
↓
↑
354.55 m
↓
S 54.514704°
W 18.435059°		 ← 354.56 m →
125 712 m²		 S 54.514704°
W 18.429566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448799133300781 y=0.681358337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448799133300781 × 216)
    floor (0.448799133300781 × 65536)
    floor (29412.5)     		tx = 29412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681358337402344 × 216)
    floor (0.681358337402344 × 65536)
    floor (44653.5)     		ty = 44653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29412 / 44653 ti = "16/29412/44653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29412/44653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29412 ÷ 216
    29412 ÷ 65536     		x = 0.44879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44653 ÷ 216
    44653 ÷ 65536     		y = 0.681350708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32175247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681350708007812 × 2 - 1) × π
    -0.362701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13946010396873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32175247} λ = -0.32175247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13946010396873))-π/2
    2×atan(0.319991737456955)-π/2
    2×0.309695449474548-π/2
    0.619390898949096-1.57079632675     		φ = -0.95140543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32175247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.435059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95140543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.511516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29412 KachelY 44653 -0.32175247 -0.95140543 -18.435059 -54.511516
    Oben rechts KachelX + 1 29413 KachelY 44653 -0.32165660 -0.95140543 -18.429566 -54.511516
    Unten links KachelX 29412 KachelY + 1 44654 -0.32175247 -0.95146108 -18.435059 -54.514704
    Unten rechts KachelX + 1 29413 KachelY + 1 44654 -0.32165660 -0.95146108 -18.429566 -54.514704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95140543--0.95146108) × R
    5.56499999999627e-05 × 6371000     		dl = 354.546149999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95140543--0.95146108) × R
    5.56499999999627e-05 × 6371000     		dr = 354.546149999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32175247--0.32165660) × cos(-0.95140543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580539316807471 × 6371000     		do = 354.586314710151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32175247--0.32165660) × cos(-0.95146108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580494003885729 × 6371000     		du = 354.558638131728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95140543)-sin(-0.95146108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580539316807471-0.580494003885729)×R²
    abs(-0.32165660--0.32175247)×4.53129217419246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53129217419246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53129217419246e-05×40589641000000     		ar = 125712.306443451m²