Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29410 / 44771
↖ ↑ ↗
← S 54.886087°
W 18.446045°		 ← 351.36 m → S 54.886087°
W 18.440552°		 →
↑
351.30 m
↓
↑
351.30 m
↓
S 54.889246°
W 18.446045°		 ← 351.34 m →
123 428 m²		 S 54.889246°
W 18.440552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448768615722656 y=0.683158874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448768615722656 × 216)
    floor (0.448768615722656 × 65536)
    floor (29410.5)     		tx = 29410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683158874511719 × 216)
    floor (0.683158874511719 × 65536)
    floor (44771.5)     		ty = 44771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29410 / 44771 ti = "16/29410/44771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29410/44771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29410 ÷ 216
    29410 ÷ 65536     		x = 0.448760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44771 ÷ 216
    44771 ÷ 65536     		y = 0.683151245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.10247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32194422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683151245117188 × 2 - 1) × π
    -0.366302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15077321227907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32194422} λ = -0.32194422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15077321227907))-π/2
    2×atan(0.316392036568365)-π/2
    2×0.306426698981564-π/2
    0.612853397963128-1.57079632675     		φ = -0.95794293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32194422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.446045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95794293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.886087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29410 KachelY 44771 -0.32194422 -0.95794293 -18.446045 -54.886087
    Oben rechts KachelX + 1 29411 KachelY 44771 -0.32184834 -0.95794293 -18.440552 -54.886087
    Unten links KachelX 29410 KachelY + 1 44772 -0.32194422 -0.95799807 -18.446045 -54.889246
    Unten rechts KachelX + 1 29411 KachelY + 1 44772 -0.32184834 -0.95799807 -18.440552 -54.889246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95794293--0.95799807) × R
    5.51400000000646e-05 × 6371000     		dl = 351.296940000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95794293--0.95799807) × R
    5.51400000000646e-05 × 6371000     		dr = 351.296940000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32194422--0.32184834) × cos(-0.95794293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575203905848322 × 6371000     		do = 351.364157189201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32194422--0.32184834) × cos(-0.95799807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575158799898921 × 6371000     		du = 351.336604153253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95794293)-sin(-0.95799807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575203905848322-0.575158799898921)×R²
    abs(-0.32184834--0.32194422)×4.51059494005479e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51059494005479e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51059494005479e-05×40589641000000     		ar = 123428.31362903m²