Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29410 / 44540
↖ ↑ ↗
← S 54.149567°
W 18.446045°		 ← 357.76 m → S 54.149567°
W 18.440552°		 →
↑
357.67 m
↓
↑
357.67 m
↓
S 54.152784°
W 18.446045°		 ← 357.73 m →
127 954 m²		 S 54.152784°
W 18.440552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448768615722656 y=0.679634094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448768615722656 × 216)
    floor (0.448768615722656 × 65536)
    floor (29410.5)     		tx = 29410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679634094238281 × 216)
    floor (0.679634094238281 × 65536)
    floor (44540.5)     		ty = 44540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29410 / 44540 ti = "16/29410/44540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29410/44540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29410 ÷ 216
    29410 ÷ 65536     		x = 0.448760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44540 ÷ 216
    44540 ÷ 65536     		y = 0.67962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.10247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32194422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.3592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1286263646546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32194422} λ = -0.32194422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1286263646546))-π/2
    2×atan(0.323477291222142)-π/2
    2×0.312854045212495-π/2
    0.625708090424989-1.57079632675     		φ = -0.94508824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32194422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.446045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94508824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.149567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29410 KachelY 44540 -0.32194422 -0.94508824 -18.446045 -54.149567
    Oben rechts KachelX + 1 29411 KachelY 44540 -0.32184834 -0.94508824 -18.440552 -54.149567
    Unten links KachelX 29410 KachelY + 1 44541 -0.32194422 -0.94514438 -18.446045 -54.152784
    Unten rechts KachelX + 1 29411 KachelY + 1 44541 -0.32184834 -0.94514438 -18.440552 -54.152784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94508824--0.94514438) × R
    5.61399999999823e-05 × 6371000     		dl = 357.667939999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94508824--0.94514438) × R
    5.61399999999823e-05 × 6371000     		dr = 357.667939999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32194422--0.32184834) × cos(-0.94508824) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585671358488496 × 6371000     		do = 357.758216126281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32194422--0.32184834) × cos(-0.94514438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585625853366255 × 6371000     		du = 357.730419255012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94508824)-sin(-0.94514438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585671358488496-0.585625853366255)×R²
    abs(-0.32184834--0.32194422)×4.55051222412184e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55051222412184e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55051222412184e-05×40589641000000     		ar = 127953.673188945m²