Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29406 / 44769
↖ ↑ ↗
← S 54.879767°
W 18.468017°		 ← 351.38 m → S 54.879767°
W 18.462524°		 →
↑
351.36 m
↓
↑
351.36 m
↓
S 54.882927°
W 18.468017°		 ← 351.36 m →
123 457 m²		 S 54.882927°
W 18.462524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448707580566406 y=0.683128356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448707580566406 × 216)
    floor (0.448707580566406 × 65536)
    floor (29406.5)     		tx = 29406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683128356933594 × 216)
    floor (0.683128356933594 × 65536)
    floor (44769.5)     		ty = 44769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29406 / 44769 ti = "16/29406/44769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29406/44769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29406 ÷ 216
    29406 ÷ 65536     		x = 0.448699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44769 ÷ 216
    44769 ÷ 65536     		y = 0.683120727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32232771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683120727539062 × 2 - 1) × π
    -0.366241455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15058146468059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32232771} λ = -0.32232771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15058146468059))-π/2
    2×atan(0.316452709798342)-π/2
    2×0.306481850290504-π/2
    0.612963700581007-1.57079632675     		φ = -0.95783263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32232771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.468017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95783263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.879767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29406 KachelY 44769 -0.32232771 -0.95783263 -18.468017 -54.879767
    Oben rechts KachelX + 1 29407 KachelY 44769 -0.32223184 -0.95783263 -18.462524 -54.879767
    Unten links KachelX 29406 KachelY + 1 44770 -0.32232771 -0.95788778 -18.468017 -54.882927
    Unten rechts KachelX + 1 29407 KachelY + 1 44770 -0.32223184 -0.95788778 -18.462524 -54.882927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95783263--0.95788778) × R
    5.51500000000038e-05 × 6371000     		dl = 351.360650000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95783263--0.95788778) × R
    5.51500000000038e-05 × 6371000     		dr = 351.360650000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32232771--0.32223184) × cos(-0.95783263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575294128859335 × 6371000     		do = 351.382618060078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32232771--0.32223184) × cos(-0.95788778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575249018228645 × 6371000     		du = 351.355065038556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95783263)-sin(-0.95788778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575294128859335-0.575249018228645)×R²
    abs(-0.32223184--0.32232771)×4.5110630689793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5110630689793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5110630689793e-05×40589641000000     		ar = 123457.184587739m²