Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29400 / 43704
↖ ↑ ↗
← S 51.371780°
W 18.500977°		 ← 381.33 m → S 51.371780°
W 18.495483°		 →
↑
381.30 m
↓
↑
381.30 m
↓
S 51.375210°
W 18.500977°		 ← 381.30 m →
145 398 m²		 S 51.375210°
W 18.495483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448616027832031 y=0.666877746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448616027832031 × 216)
    floor (0.448616027832031 × 65536)
    floor (29400.5)     		tx = 29400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666877746582031 × 216)
    floor (0.666877746582031 × 65536)
    floor (43704.5)     		ty = 43704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29400 / 43704 ti = "16/29400/43704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29400/43704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29400 ÷ 216
    29400 ÷ 65536     		x = 0.4486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43704 ÷ 216
    43704 ÷ 65536     		y = 0.6668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32290296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04847586848987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32290296} λ = -0.32290296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04847586848987))-π/2
    2×atan(0.35047150691638)-π/2
    2×0.337094808321218-π/2
    0.674189616642436-1.57079632675     		φ = -0.89660671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32290296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.500977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89660671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.371780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29400 KachelY 43704 -0.32290296 -0.89660671 -18.500977 -51.371780
    Oben rechts KachelX + 1 29401 KachelY 43704 -0.32280708 -0.89660671 -18.495483 -51.371780
    Unten links KachelX 29400 KachelY + 1 43705 -0.32290296 -0.89666656 -18.500977 -51.375210
    Unten rechts KachelX + 1 29401 KachelY + 1 43705 -0.32280708 -0.89666656 -18.495483 -51.375210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89660671--0.89666656) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dl = 381.304349999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89660671--0.89666656) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dr = 381.304349999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32290296--0.32280708) × cos(-0.89660671) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624264439804078 × 6371000     		do = 381.332856965662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32290296--0.32280708) × cos(-0.89666656) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624217683081945 × 6371000     		du = 381.304295552748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89660671)-sin(-0.89666656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624264439804078-0.624217683081945)×R²
    abs(-0.32280708--0.32290296)×4.67567221323906e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67567221323906e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67567221323906e-05×40589641000000     		ar = 145398.431906656m²