Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29399 / 44729
↖ ↑ ↗
← S 54.753161°
W 18.506470°		 ← 352.49 m → S 54.753161°
W 18.500977°		 →
↑
352.51 m
↓
↑
352.51 m
↓
S 54.756331°
W 18.506470°		 ← 352.46 m →
124 249 m²		 S 54.756331°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448600769042969 y=0.682518005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448600769042969 × 216)
    floor (0.448600769042969 × 65536)
    floor (29399.5)     		tx = 29399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682518005371094 × 216)
    floor (0.682518005371094 × 65536)
    floor (44729.5)     		ty = 44729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29399 / 44729 ti = "16/29399/44729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29399/44729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29399 ÷ 216
    29399 ÷ 65536     		x = 0.448593139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44729 ÷ 216
    44729 ÷ 65536     		y = 0.682510375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448593139648438 × 2 - 1) × π
    -0.102813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32299883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682510375976562 × 2 - 1) × π
    -0.365020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14674651271098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32299883} λ = -0.32299883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14674651271098))-π/2
    2×atan(0.317668620730898)-π/2
    2×0.307586693998938-π/2
    0.615173387997876-1.57079632675     		φ = -0.95562294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32299883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.506470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95562294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.753161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29399 KachelY 44729 -0.32299883 -0.95562294 -18.506470 -54.753161
    Oben rechts KachelX + 1 29400 KachelY 44729 -0.32290296 -0.95562294 -18.500977 -54.753161
    Unten links KachelX 29399 KachelY + 1 44730 -0.32299883 -0.95567827 -18.506470 -54.756331
    Unten rechts KachelX + 1 29400 KachelY + 1 44730 -0.32290296 -0.95567827 -18.500977 -54.756331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95562294--0.95567827) × R
    5.53300000000201e-05 × 6371000     		dl = 352.507430000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95562294--0.95567827) × R
    5.53300000000201e-05 × 6371000     		dr = 352.507430000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32299883--0.32290296) × cos(-0.95562294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577100131342256 × 6371000     		do = 352.485702289236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32299883--0.32290296) × cos(-0.95567827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577054943919818 × 6371000     		du = 352.458102364253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95562294)-sin(-0.95567827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577100131342256-0.577054943919818)×R²
    abs(-0.32290296--0.32299883)×4.51874224378646e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51874224378646e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51874224378646e-05×40589641000000     		ar = 124248.964468225m²