Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29390 / 44722
↖ ↑ ↗
← S 54.730964°
W 18.555908°		 ← 352.68 m → S 54.730964°
W 18.550415°		 →
↑
352.70 m
↓
↑
352.70 m
↓
S 54.734136°
W 18.555908°		 ← 352.65 m →
124 384 m²		 S 54.734136°
W 18.550415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448463439941406 y=0.682411193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448463439941406 × 216)
    floor (0.448463439941406 × 65536)
    floor (29390.5)     		tx = 29390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682411193847656 × 216)
    floor (0.682411193847656 × 65536)
    floor (44722.5)     		ty = 44722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29390 / 44722 ti = "16/29390/44722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29390/44722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29390 ÷ 216
    29390 ÷ 65536     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44722 ÷ 216
    44722 ÷ 65536     		y = 0.682403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.36480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1460753961163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1460753961163))-π/2
    2×atan(0.31788188496846)-π/2
    2×0.307780397809933-π/2
    0.615560795619866-1.57079632675     		φ = -0.95523553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95523553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.730964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29390 KachelY 44722 -0.32386169 -0.95523553 -18.555908 -54.730964
    Oben rechts KachelX + 1 29391 KachelY 44722 -0.32376582 -0.95523553 -18.550415 -54.730964
    Unten links KachelX 29390 KachelY + 1 44723 -0.32386169 -0.95529089 -18.555908 -54.734136
    Unten rechts KachelX + 1 29391 KachelY + 1 44723 -0.32376582 -0.95529089 -18.550415 -54.734136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95523553--0.95529089) × R
    5.53599999999488e-05 × 6371000     		dl = 352.698559999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95523553--0.95529089) × R
    5.53599999999488e-05 × 6371000     		dr = 352.698559999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32376582) × cos(-0.95523553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577416475467848 × 6371000     		do = 352.678921412259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32376582) × cos(-0.95529089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577371275924234 × 6371000     		du = 352.65131408381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95523553)-sin(-0.95529089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577416475467848-0.577371275924234)×R²
    abs(-0.32376582--0.32386169)×4.51995436134833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51995436134833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51995436134833e-05×40589641000000     		ar = 124384.479223653m²