Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29389 / 44633
↖ ↑ ↗
← S 54.447686°
W 18.561402°		 ← 355.18 m → S 54.447686°
W 18.555908°		 →
↑
355.12 m
↓
↑
355.12 m
↓
S 54.450880°
W 18.561402°		 ← 355.15 m →
126 125 m²		 S 54.450880°
W 18.555908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448448181152344 y=0.681053161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448448181152344 × 216)
    floor (0.448448181152344 × 65536)
    floor (29389.5)     		tx = 29389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681053161621094 × 216)
    floor (0.681053161621094 × 65536)
    floor (44633.5)     		ty = 44633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29389 / 44633 ti = "16/29389/44633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29389/44633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29389 ÷ 216
    29389 ÷ 65536     		x = 0.448440551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44633 ÷ 216
    44633 ÷ 65536     		y = 0.681045532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448440551757812 × 2 - 1) × π
    -0.103118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32395757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681045532226562 × 2 - 1) × π
    -0.362091064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13754262798393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32395757} λ = -0.32395757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13754262798393))-π/2
    2×atan(0.32060590256411)-π/2
    2×0.310252469176379-π/2
    0.620504938352759-1.57079632675     		φ = -0.95029139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32395757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.561402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95029139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.447686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29389 KachelY 44633 -0.32395757 -0.95029139 -18.561402 -54.447686
    Oben rechts KachelX + 1 29390 KachelY 44633 -0.32386169 -0.95029139 -18.555908 -54.447686
    Unten links KachelX 29389 KachelY + 1 44634 -0.32395757 -0.95034713 -18.561402 -54.450880
    Unten rechts KachelX + 1 29390 KachelY + 1 44634 -0.32386169 -0.95034713 -18.555908 -54.450880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95029139--0.95034713) × R
    5.57400000000818e-05 × 6371000     		dl = 355.119540000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95029139--0.95034713) × R
    5.57400000000818e-05 × 6371000     		dr = 355.119540000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32395757--0.32386169) × cos(-0.95029139) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581446043628485 × 6371000     		do = 355.177176290577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32395757--0.32386169) × cos(-0.95034713) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581400693499193 × 6371000     		du = 355.149474096981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95029139)-sin(-0.95034713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581446043628485-0.581400693499193)×R²
    abs(-0.32386169--0.32395757)×4.53501292921876e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53501292921876e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53501292921876e-05×40589641000000     		ar = 126125.436700678m²