Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29388 / 44148
↖ ↑ ↗
← S 52.869130°
W 18.566894°		 ← 368.69 m → S 52.869130°
W 18.561402°		 →
↑
368.69 m
↓
↑
368.69 m
↓
S 52.872446°
W 18.566894°		 ← 368.67 m →
135 929 m²		 S 52.872446°
W 18.561402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448432922363281 y=0.673652648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448432922363281 × 216)
    floor (0.448432922363281 × 65536)
    floor (29388.5)     		tx = 29388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673652648925781 × 216)
    floor (0.673652648925781 × 65536)
    floor (44148.5)     		ty = 44148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29388 / 44148 ti = "16/29388/44148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29388/44148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29388 ÷ 216
    29388 ÷ 65536     		x = 0.44842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44148 ÷ 216
    44148 ÷ 65536     		y = 0.67364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32405344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.3472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09104383535248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32405344} λ = -0.32405344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09104383535248))-π/2
    2×atan(0.335865722150242)-π/2
    2×0.3240279702008-π/2
    0.648055940401601-1.57079632675     		φ = -0.92274039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32405344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.566894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92274039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.869130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29388 KachelY 44148 -0.32405344 -0.92274039 -18.566894 -52.869130
    Oben rechts KachelX + 1 29389 KachelY 44148 -0.32395757 -0.92274039 -18.561402 -52.869130
    Unten links KachelX 29388 KachelY + 1 44149 -0.32405344 -0.92279826 -18.566894 -52.872446
    Unten rechts KachelX + 1 29389 KachelY + 1 44149 -0.32395757 -0.92279826 -18.561402 -52.872446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92274039--0.92279826) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000     		dl = 368.689770000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92274039--0.92279826) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000     		dr = 368.689770000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32405344--0.32395757) × cos(-0.92274039) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.603637625875086 × 6371000     		do = 368.694479396544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32405344--0.32395757) × cos(-0.92279826) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.603591487496769 × 6371000     		du = 368.66629863934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92274039)-sin(-0.92279826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603637625875086-0.603591487496769)×R²
    abs(-0.32395757--0.32405344)×4.61383783172398e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.61383783172398e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.61383783172398e-05×40589641000000     		ar = 135928.687868292m²