Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29386 / 43730
↖ ↑ ↗
← S 51.460852°
W 18.577881°		 ← 380.55 m → S 51.460852°
W 18.572388°		 →
↑
380.54 m
↓
↑
380.54 m
↓
S 51.464275°
W 18.577881°		 ← 380.52 m →
144 809 m²		 S 51.464275°
W 18.572388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448402404785156 y=0.667274475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448402404785156 × 216)
    floor (0.448402404785156 × 65536)
    floor (29386.5)     		tx = 29386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667274475097656 × 216)
    floor (0.667274475097656 × 65536)
    floor (43730.5)     		ty = 43730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29386 / 43730 ti = "16/29386/43730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29386/43730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29386 ÷ 216
    29386 ÷ 65536     		x = 0.448394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43730 ÷ 216
    43730 ÷ 65536     		y = 0.667266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.10321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32424519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667266845703125 × 2 - 1) × π
    -0.33453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05096858727011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32424519} λ = -0.32424519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05096858727011))-π/2
    2×atan(0.349598967958077)-π/2
    2×0.336317507869992-π/2
    0.672635015739985-1.57079632675     		φ = -0.89816131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32424519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.577881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89816131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.460852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29386 KachelY 43730 -0.32424519 -0.89816131 -18.577881 -51.460852
    Oben rechts KachelX + 1 29387 KachelY 43730 -0.32414932 -0.89816131 -18.572388 -51.460852
    Unten links KachelX 29386 KachelY + 1 43731 -0.32424519 -0.89822104 -18.577881 -51.464275
    Unten rechts KachelX + 1 29387 KachelY + 1 43731 -0.32414932 -0.89822104 -18.572388 -51.464275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89816131--0.89822104) × R
    5.97300000000356e-05 × 6371000     		dl = 380.539830000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89816131--0.89822104) × R
    5.97300000000356e-05 × 6371000     		dr = 380.539830000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32424519--0.32414932) × cos(-0.89816131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623049212051311 × 6371000     		do = 380.550838829069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32424519--0.32414932) × cos(-0.89822104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623002491170946 × 6371000     		du = 380.522302286739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89816131)-sin(-0.89822104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623049212051311-0.623002491170946)×R²
    abs(-0.32414932--0.32424519)×4.67208803646146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67208803646146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67208803646146e-05×40589641000000     		ar = 144809.321911804m²