Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29382 / 44616
↖ ↑ ↗
← S 54.393352°
W 18.599853°		 ← 355.61 m → S 54.393352°
W 18.594360°		 →
↑
355.57 m
↓
↑
355.57 m
↓
S 54.396550°
W 18.599853°		 ← 355.58 m →
126 438 m²		 S 54.396550°
W 18.594360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448341369628906 y=0.680793762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448341369628906 × 216)
    floor (0.448341369628906 × 65536)
    floor (29382.5)     		tx = 29382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680793762207031 × 216)
    floor (0.680793762207031 × 65536)
    floor (44616.5)     		ty = 44616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29382 / 44616 ti = "16/29382/44616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29382/44616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29382 ÷ 216
    29382 ÷ 65536     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44616 ÷ 216
    44616 ÷ 65536     		y = 0.6807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.361572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13591277339685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13591277339685))-π/2
    2×atan(0.321128869629416)-π/2
    2×0.310726619655355-π/2
    0.621453239310709-1.57079632675     		φ = -0.94934309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94934309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.393352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29382 KachelY 44616 -0.32462868 -0.94934309 -18.599853 -54.393352
    Oben rechts KachelX + 1 29383 KachelY 44616 -0.32453281 -0.94934309 -18.594360 -54.393352
    Unten links KachelX 29382 KachelY + 1 44617 -0.32462868 -0.94939890 -18.599853 -54.396550
    Unten rechts KachelX + 1 29383 KachelY + 1 44617 -0.32453281 -0.94939890 -18.594360 -54.396550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94934309--0.94939890) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dl = 355.56551000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94934309--0.94939890) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dr = 355.56551000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32453281) × cos(-0.94934309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582217304697639 × 6371000     		do = 355.611209191674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32453281) × cos(-0.94939890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582171928407152 × 6371000     		du = 355.583493908396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94934309)-sin(-0.94939890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582217304697639-0.582171928407152)×R²
    abs(-0.32453281--0.32462868)×4.53762904867316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53762904867316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53762904867316e-05×40589641000000     		ar = 126438.15369133m²