Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29379 / 44621
↖ ↑ ↗
← S 54.409340°
W 18.616333°		 ← 355.51 m → S 54.409340°
W 18.610840°		 →
↑
355.50 m
↓
↑
355.50 m
↓
S 54.412537°
W 18.616333°		 ← 355.48 m →
126 379 m²		 S 54.412537°
W 18.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448295593261719 y=0.680870056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448295593261719 × 216)
    floor (0.448295593261719 × 65536)
    floor (29379.5)     		tx = 29379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680870056152344 × 216)
    floor (0.680870056152344 × 65536)
    floor (44621.5)     		ty = 44621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29379 / 44621 ti = "16/29379/44621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29379/44621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29379 ÷ 216
    29379 ÷ 65536     		x = 0.448287963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44621 ÷ 216
    44621 ÷ 65536     		y = 0.680862426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448287963867188 × 2 - 1) × π
    -0.103424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32491631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680862426757812 × 2 - 1) × π
    -0.361724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13639214239305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32491631} λ = -0.32491631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13639214239305))-π/2
    2×atan(0.320974967296481)-π/2
    2×0.310587098384693-π/2
    0.621174196769386-1.57079632675     		φ = -0.94962213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32491631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.616333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94962213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.409340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29379 KachelY 44621 -0.32491631 -0.94962213 -18.616333 -54.409340
    Oben rechts KachelX + 1 29380 KachelY 44621 -0.32482043 -0.94962213 -18.610840 -54.409340
    Unten links KachelX 29379 KachelY + 1 44622 -0.32491631 -0.94967793 -18.616333 -54.412537
    Unten rechts KachelX + 1 29380 KachelY + 1 44622 -0.32482043 -0.94967793 -18.610840 -54.412537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94962213--0.94967793) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dl = 355.50180000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94962213--0.94967793) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dr = 355.50180000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32491631--0.32482043) × cos(-0.94962213) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58199041324534 × 6371000     		do = 355.5097052767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32491631--0.32482043) × cos(-0.94967793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581945036022255 × 6371000     		du = 355.48198653282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94962213)-sin(-0.94967793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58199041324534-0.581945036022255)×R²
    abs(-0.32482043--0.32491631)×4.53772230850635e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53772230850635e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53772230850635e-05×40589641000000     		ar = 126379.413144178m²