Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29377 / 44736
↖ ↑ ↗
← S 54.775346°
W 18.627319°		 ← 352.29 m → S 54.775346°
W 18.621826°		 →
↑
352.32 m
↓
↑
352.32 m
↓
S 54.778514°
W 18.627319°		 ← 352.26 m →
124 114 m²		 S 54.778514°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448265075683594 y=0.682624816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448265075683594 × 216)
    floor (0.448265075683594 × 65536)
    floor (29377.5)     		tx = 29377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682624816894531 × 216)
    floor (0.682624816894531 × 65536)
    floor (44736.5)     		ty = 44736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29377 / 44736 ti = "16/29377/44736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29377/44736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29377 ÷ 216
    29377 ÷ 65536     		x = 0.448257446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44736 ÷ 216
    44736 ÷ 65536     		y = 0.6826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448257446289062 × 2 - 1) × π
    -0.103485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32510805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6826171875 × 2 - 1) × π
    -0.365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14741762930566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32510805} λ = -0.32510805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14741762930566))-π/2
    2×atan(0.317455499570489)-π/2
    2×0.30739309632463-π/2
    0.61478619264926-1.57079632675     		φ = -0.95601013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32510805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.627319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95601013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.775346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29377 KachelY 44736 -0.32510805 -0.95601013 -18.627319 -54.775346
    Oben rechts KachelX + 1 29378 KachelY 44736 -0.32501218 -0.95601013 -18.621826 -54.775346
    Unten links KachelX 29377 KachelY + 1 44737 -0.32510805 -0.95606543 -18.627319 -54.778514
    Unten rechts KachelX + 1 29378 KachelY + 1 44737 -0.32501218 -0.95606543 -18.621826 -54.778514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95601013--0.95606543) × R
    5.52999999999804e-05 × 6371000     		dl = 352.316299999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95601013--0.95606543) × R
    5.52999999999804e-05 × 6371000     		dr = 352.316299999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32510805--0.32501218) × cos(-0.95601013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576783880319027 × 6371000     		do = 352.292540031998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32510805--0.32501218) × cos(-0.95606543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576738705044977 × 6371000     		du = 352.264947527102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95601013)-sin(-0.95606543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576783880319027-0.576738705044977)×R²
    abs(-0.32501218--0.32510805)×4.51752740502354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51752740502354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51752740502354e-05×40589641000000     		ar = 124113.543608525m²