Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29376 / 44860
↖ ↑ ↗
← S 55.166319°
W 18.632813°		 ← 348.92 m → S 55.166319°
W 18.627319°		 →
↑
348.88 m
↓
↑
348.88 m
↓
S 55.169456°
W 18.632813°		 ← 348.89 m →
121 724 m²		 S 55.169456°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448249816894531 y=0.684516906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448249816894531 × 216)
    floor (0.448249816894531 × 65536)
    floor (29376.5)     		tx = 29376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684516906738281 × 216)
    floor (0.684516906738281 × 65536)
    floor (44860.5)     		ty = 44860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29376 / 44860 ti = "16/29376/44860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29376/44860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29376 ÷ 216
    29376 ÷ 65536     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44860 ÷ 216
    44860 ÷ 65536     		y = 0.68450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15930598041144))-π/2
    2×atan(0.313703821947727)-π/2
    2×0.303981212541842-π/2
    0.607962425083684-1.57079632675     		φ = -0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29376 KachelY 44860 -0.32520393 -0.96283390 -18.632813 -55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 29377 KachelY 44860 -0.32510805 -0.96283390 -18.627319 -55.166319
    Unten links KachelX 29376 KachelY + 1 44861 -0.32520393 -0.96288866 -18.632813 -55.169456
    Unten rechts KachelX + 1 29377 KachelY + 1 44861 -0.32510805 -0.96288866 -18.627319 -55.169456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96283390--0.96288866) × R
    5.47599999999315e-05 × 6371000     		dl = 348.875959999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96283390--0.96288866) × R
    5.47599999999315e-05 × 6371000     		dr = 348.875959999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(-0.96283390) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 348.916031452666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(-0.96288866) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571151230621758 × 6371000     		du = 348.888574529096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96283390)-sin(-0.96288866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571151230621758)×R²
    abs(-0.32510805--0.32520393)×4.49486077530592e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49486077530592e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49486077530592e-05×40589641000000     		ar = 121723.62593252m²